重庆市中考数学 第一部分 考点研究 第三章 第五节 二次函数的综合应用课件.ppt

第一部分考点研究 第三章函数第五节二次函数的综合应用 重难点突破 与线段 周长有关的问题 例1 2015龙东地区 如图 抛物线y x2 bx c交x轴于点a 1 0 交y轴于点b 对称轴是x 2 1 求抛物线的解析式 2 点p是抛物线对称轴上的一个动点 是否存在点p 使 pab的周长最小 若存在 求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 解 根据题意得c 3 0 则把a 1 0 c 3 0 分别代入y x2 bx c可得 解得 二次函数的解析式为y x2 4x 3 1 b c 0 b 4c 3 1 思路分析 根据对称性求出c点坐标 再用待定系数法解答便可 9 3b c 0 2 思路分析 ab长固定 所以要使得 pab的周长最小 即就是pa pb的和最小 即问题就转化为线上某点到线外两点的距离和最短 因为a点和c点关于对称轴 2 解 设bc解析式为y kx b k 0 把b 0 3 c 3 0 分别代入y kx b 得 解得 y x 3 当x 2时 y 1 p 2 1 k 1b 3 对称 所以连接bc与对称轴的交点p就是所要找的点 求出其交点坐标便可 b 3 3k b 0 无论是线段和的最小值或是周长的最小值 还是两条线段差的最大值 解决这类问题最基本的定理就是 两点之间线段最短 最常见的基本图形就是 水渠问题 即已知一条直线和直线同旁的两个点 要在直线上找一点 使得这两个点与这点连接的线段之和最小 解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决 例2 2015贵港 如图 抛物线y ax2 bx c与x轴交于点a和点b 1 0 与y轴交于点c 0 3 其对称轴l为x 1 1 求抛物线的解析式并写出其顶点坐标 2 若动点p在第二象限内的抛物线上 动点n在对称轴l上 当pa na 且pa na时 求此时点p的坐标 当四边形pabc的面积最大时 求四边形pabc面积的最大值及此时点p的坐标 与面积有关的问题 解 抛物线y ax2 bx c与x轴交于点a和点b 1 0 与y轴交于点c 0 3 其对称轴l为x 1 a b c 0c 3 1 解得 a 1b 2 c 3 二次函数的解析式为y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点坐标为 1 4 1 思路分析 将点b和点c的坐标代入抛物线的解析式 并结合对称轴l为x 1 即可求得抛物线的解析式及其顶点坐标 解 令y x2 2x 3 0 解得x 3或x 1 点a 3 0 b 1 0 如解图 作pd x轴于点d 对称轴l与x轴交于点q 连接ac op bc 2 思路分析 首先求得抛物线与x轴的交点坐标 然后根据已知条件证得pd aq 从而列方程求得x的值即可得点p的坐标 用分割法将四边形的面积s四边形pabc s obc s aoc s apc 得到二次函数 求得最值即可 点p在y x2 2x 3上 设点p x x2 2x 3 pa na 且pa na pad apd pad naq 90 apd naq 又 pda aqn 90 pad anq aas pd aq 即y x2 2x 3 2 解得x 舍去 或x 点p 2 例2题解图 d q s四边形pabc s obc s aoc s apc s aoc s ocp x x s oap 3 yp x2 3x s apc s oap s ocp s aoc x2 3x x x2 x x 2 当x 时 s apc最大值 此时p s四边形pabc s abc s apc 4 3 s四边形pabc最大值 探究三角形或四边形的面积的最值问题 1 若所求点在二次函数上 动点的坐标为 t at2 bt c 2 求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高 此时可以利用三角形边或高平行于x轴或y轴 从而利用其横 纵坐标表示底和高或证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似 从而求得用含t的代数式表示的底和高 求四边形的面积最值时 常用到的方法是利用割补法将四边形分成n个三角 形 从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段 3 用含有未知数的代数式表示出图形面积 4 用二次函数的知识来求最大值或最小值 与三角形 四边形形状有关的问题 例3 2015黔东南州 如图 已知二次函数y1 x2 x c的图象与x轴的一个交点为a 4 0 与y轴的交点为b 过a b的直线为y2 kx b 1 求二次函数y1的解析式及点b的坐标 2 由图象写出满足y1 y2的自变量x的取值范围 3 在两坐标轴上是否存在点p 使得 abp是以ab为底边的等腰三角形 若存在 求出p点的坐标 若不存在 说明理由 解 点a 4 0 在抛物线y1 上 0 解得c 3 抛物线解析式为y1 点b是抛物线y1与y轴的交点 点b的坐标为 0 3 1 思路分析 将点a 4 0 代入抛物线解析式 即可得到c的值 从而确定抛物线的解析式 令抛物线x 0 可得点b的坐标 解 根据图象可知 当x 4或x 0时 y1 y2 解 存在 取ab的中点为c 点a 4 0 点b 0 3 点c 2 2 思路分析 观察图象 直线在抛物线上方的部分对应的x即为所求 3 思路分析 由等腰三角形性质 取底边ab的中点c 过c作cf ab交x轴于e 交y轴于f 利用三角形相似确定点f e的坐标即可 过点c作ce ab 交x轴于e 交y轴于f 在rt abo中 ao 4 bo 3 ab 5 c是ab的中点 ac ace aob 90 eac bao aec abo 即 解得ae oe oa ae 此时点p与点e重合 坐标为 0 fbc abo fcb aob abo fbc e f c 即解得of 此时点p与点f重合 坐标为 0 综上所述 存在点p使得 abp为等腰三角形 点p的坐标为 0 或 0 对于等腰三角形的存在探究问题 解题步骤如下 1 假设结论成立 2 设出点坐标 求边长 根据题意 直接或间接设出所求点的坐标 若所求的点在抛物线上时 该点的坐标可以设为 x ax2 bx c 若所求的点在对称轴上时 该点的坐标可以设为 y 若所求的点在已知直线y kx b上时 该点的坐标可以设为 x kx b 并用所设点坐标表示出相应的边长 常利用相似三角形性质或勾股定理求解 3 当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时 需分情况讨论 具体方法如下 当定长为底边时 作出定长的垂直平分线 若作出的垂直平分线与已知直线有交点 则交点即为所求的点 若作出的垂直平分线与已知直线无交点 则满足条件的点不存在 以上方法即可找出所有符合条件的点 当定长为腰 找已知直线上满足条件的点时 以定长的某一端点为圆心 以定长为半径画弧 若所