2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念讲义新人教A版.docx

5.2.1三角函数的概念最新课程标准：(1)借助单位圆理解任意角的三角函数定义(2)掌握三角函数在各象限的符号(3)掌握诱导公式一并会应用(4)会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.知识点一任意角的三角函数的定义前提如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做的正弦，记作sin ，即sin y余弦x叫做的余弦，记作cos ，即cos x正切叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合知识点二正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan R|k，kZ知识点三三角函数线(1)三角函数线的方向正弦线由垂足指向角的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角的终边或其反向延长线的交点(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值知识点四三角函数值在各象限的符号对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值根据三角函数定义知：(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负知识点五诱导公式一(1)语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等(2)式子表示其中kZ.诱导公式一(1)实质：是说终边相同的角的三角函数值相等. 即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次(2)结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为k2，右边的角为.(3)作用：把求任意角的三角函数值转化为求0 2(或0 360 )角的三角函数值体现了“大化小”“负化正”的数学思想教材解难正确认识三角函数线(1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正值，反向的为负值(2)三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.(3)三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础基础自测1如图所示，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线PM，正切线ATB正弦线MP，正切线ATC正弦线MP，正切线ATD正弦线PM，正切线AT解析：为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确答案：C2sin 780的值为()AB.C D.解析：sin 780sin(236060)sin 60，故选B.答案：B3已知角的终边与单位圆交于点，则sin 的值为()A BC. D.解析：根据任意角的正弦定义，可得sin y.答案：B4若是第三象限角，则点P(sin ，cos )在第_象限解析：为第三象限角，sin 0，cos 0)则sin ，cos . 已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便(3)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论跟踪训练1(1)若角的终边经过点P(5，12)，则sin _，cos _，tan _.(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值解析：(1)x5，y12，r13，则sin ，cos ，tan .(2)直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan ；在第四象限取直线上的点 (1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan .答案：(1)(2)见解析(1)若已知角终边上一点P(x，y)(x0)不是单位圆上的点，则先求r(r表示点P到原点的距离)，sin，cos，tan.(2)在 的终边上任取一点，再利用三角函数的定义求解题型二三角函数线经典例题例2做出的正弦线、余弦线和正切线【解析】角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.先作单位圆再作角，最后作出三角函数线方法归纳三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT. 跟踪训练2作出的正弦线、余弦线和正切线解析：如图：sinMP，cosOM，tanAT.作单位圆、作角、画出三角函数线题型三三角函数在各象限的符号经典例题例3若sin tan 0，且0，则角是()A.第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角【解析】由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而是第二或第三象限角由0，则的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上跟踪训练3判断下列各式的符号：(1)sin 145cos(210)；(2)sin 3cos 4tan 5.解析：(1)145角是第二象限角，sin 1450.210360150，210角是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.(2)3450，cos 40，tan 50.题型四诱导公式一的应用经典例题例4计算下列各式的值：(1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750；(2)sincostan 4.【解析】(1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin 45cos 30cos 60sin 30.(2)原式sincostan(40)sincos0.(1)含有三角函数值的代数式的化简，要先利用诱导公式一把角的范围转化到0 2范围内，求出相应的三角函数值(2)准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易出现的错误就是对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误方法归纳利用诱导公式一求值应注意：利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为02内的角的三角函数，也可把大于2的角的三角函数转化为02内的角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”，要注意记忆特殊角的三角函数值跟踪训练4求下列各式的值：(1)sintan；(2)sin 810cos 360tan 1 125.解析：(1)sintansintansintan1.(2)sin 810cos 360tan 1 125sin(236090)cos(3600)tan(336045)sin 90cos 0tan 451111.应用诱导公式一时，先将角转化到0 2范围内的角，再求值. 对于特殊角的三角函数值一定要熟记课时作业 29一、选择题1已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan 的值为()A BC D解析：由正切函数的定义可得，tan .答案：A2sin(140)cos 740的值()A大于0 B小于0C等于0 D不确定解析：因为140为第三象限角，故sin(140)0，所以sin(140)cos 7400.故选B.答案：B3若sin cos 0)，则sin cos 0，即xy0，cos OM，即sin 1cos 1.答案：sin 1cos 1三、解答题8已知角的终边为射线yx(x0)，求角的正弦、余弦和正切值解析：由得x2x21，即25x216，即x或x.x0，x，从而y.角的终边与单位圆的交点坐标为(，)sin y，cos x，tan .9判断下列各式的符号：(1)sin 105cos 230；(2)cos 3tan.解析：(1)因为105，230分别为第二、第三象限角，所以sin 1050，cos 2300.于是sin 105cos 2300.(2)因为3，所以3是第二象限角，所以cos 30，所以cos 3ta