球的有关内接问题讲义.doc

球的有关内接问题一、还原为正方体、长方体、正四面体1、已知四棱锥的底面是边长为2的正方形， ，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 2、三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）A. B. C. D. 3、四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为同一球面上，则（ ）A3 B C D4、三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5、中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑, 平面,三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6、在正三棱锥中， 是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的体积为_，其外接球的表面积为_7、四面体ABCD的棱长AB=CD=6，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（ ）A B C. D8、已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为.（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积.二、借肋球的有关几何性质解题一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，1、已知三棱柱的六个顶点都在球的球面上，且侧棱平面，若， ， ，则球的表面积为( )A. B. C. D. 2、三棱锥中，侧棱底面， ， ， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 3、在三棱锥中 则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4、如图，正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_5、如图是棱长为4的正方体，点为棱的中点，若三棱锥的四个顶点都在球表面上，则球的表面积是（ ）A. B. C. D. 6、已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且ABBC2，B120，则球O的表面积为()A. B. C. 4 D. 7、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为()A. B. C. D.8、已知球的半径为5，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若其中一个圆的半径为，则另一个圆的半径为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 三、有关最值问题1、已知是球的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的半径为( ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 162、如图，已知正三角形的三个顶点都在表面积为的球面上，球心到平面的距离为2，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）A. B. C. D. 3、已知在三棱锥中， 两两垂直， ， 是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是( )A. B. C. D. 4、直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其外接球的体积为（ ）A. B. C. D.5、已知三棱锥内接于半径为的球中，则三棱锥的体积的最大值为 。一、还原为正方体、长方体、正四面体1 C. 2、D. 3、B4、【解析】由题意得：两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥的外接球，半径为，表面积为，选B5、【解析】由题意得为球的直径,而,即球的半径;所以球的表面积.本题选择C选项.6、【解析】因为是的中点，且，所以,因此正三棱锥为正四面体，其体积为，外接球直径为，表面积为7、【答案】C8、解析：（1）四面体的三组对边分别相等，四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为，则，解得，四面体的体积.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长，外接球的半径为，外接球的表面积为二、借肋球的有关几何性质解题1、【解析】在中，由余弦定理可得 外接圆半径 球的半径，故选C。2、【解析】由题，侧棱底面， ， ， ，则根据余弦定理可得 ， 的外接圆圆心 三棱锥的外接球的球心到面的距离 则外接球的半径 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 3、【解析】因为 ，由勾股定理可得，故平面.由于有一条棱垂直于底面，所以该三棱锥可以补成一个直三棱柱，则直三棱柱的外界球的球心正好是直三棱柱的中截面的外接圆圆心，而该直三棱柱的中截面是三边长为1，1，的三角形，其外接圆半径.又棱柱的高为，所以三棱锥的外接球半径为，所以外接球表面积，故选D.4、【解析】如图，过S作SO1平面ABCD，由已知=1.在RtSO1C中， SC ， ， O1SO1AO1BO1CO1D，故O1是过S，A，B，C，D点的球的球心， 球的半径为r1， 球的体积为.5、根据三视图知几何体是：三棱锥D？ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：该多面体的所有顶点都在球O，由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，由正方体的性质可得，设ABC的外接圆的半径为r，在ABC中，由余弦定理得，,则，由正弦定理可得, ,则r=，即球O的半径，球O的表面积，故选：C.6、【解析】如图,设球的半径为r,O是ABC的外心，外接圆半径为R，则OO面ABC.AB=BC=2,B=120，在RtOOB中,则sinOBO=.在ABC中,由正弦定理得,R=2,即OB=2.在RtOBO中,由题意得,得.球的表面积.本题选择A选项.7、【答案】A8、【解析】如图所示：设两圆的圆心分别为，球心为，公共弦为，其中点为，则为矩形，于是， ，圆O2的半径为4故选B.三、有关最值问题1、【解析】由是球的球面上两点， 可知，OAOB如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VOABC=VCAOB= =36，故R=6，故选A2、【解析】设正ABC的中心为O1，连结O1AO1是正ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，O1O平面ABC，球的半径R=4，球心O到平面ABC的距离为2得O1O=2，RtO1OA中，O1A= ，又E为AB的中点，ABC是等边三角形，AE=AO1cos30=3过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值此时截面圆的半径r=3，可得截面面积为S=r2=故选D3、【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，PA、PB、PC互相垂直，AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PMBC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大。此时，在RtPBC中, .三棱锥P？ABC扩充为长方体,则长方体的对角线长为，三棱锥P？ABC的外接球的半径