江西省信丰中学高中数学 第一章 函数的单调性1课件 新人教A版必修1.ppt

3 7函数的单调性 学习目的 1 会从几何角度直观了解函数单调性与其导数的关系 并会灵活应用 2 通过对函数单调性的研究 加深对函数导数的理解 提高用导数解决实际问题的能力 增强数形结合的思维意识 复习引入 问题1 怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性 1 一般地 对于给定区间上的函数f x 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1 x2 当x1f x2 那么f x 在这个区间上是减函数 2 由定义证明函数的单调性的一般步骤 1 设x1 x2是给定区间的任意两个值 且x1 x2 2 作差f x1 f x2 并变形 3 判断差的符号 从而得函数的单调性 例1讨论函数y x2 4x 3的单调性 解 取x1f x2 那么y f x 单调递减 当20 f x1 f x2 那么y f x 单调递增 综上y f x 单调递增区间为 2 y f x 单调递减区间为 2 函数y x2 4x 3的图象 2 单增区间 1 和 1 单减区间 1 0 和 0 1 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 例如y x3 2x2 x 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过函数的y x2 4x 3图象来考察一下 2 观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 结论 一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 则函数在该区间如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 注意 如果在某个区间内恒有f x 0 则f x 为常数函数 结论应用 由以上结论可知 函数的单调性与其导数有关 即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性 现举例说明 例3求函数f x 2x3 6x2 7的单调区间 解 函数的定义域为r f x 6x2 12x 令6x2 12x 0 解得x2 则f x 的单增区间为 0 和 2 再令6x2 12x 0 解得0 x 2 则f x 的单减区间 0 2 注 当x 0或2时 f x 0 即函数在该点单调性发生改变 总结 根据导数确定函数的单调性一般需两步 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 例4求函数f x xlnx的单调区间 解 函数的定义域为x 0 f x x lnx x lnx lnx 1 当lnx 1 0时 解得x 1 e 则f x 的单增区间是 1 e 当lnx 1 0时 解得0 x 1 e 则f x 的单减区间是 0 1 e 例5判定函数y ex x 1的单调区间 解 f x ex 1当ex 1 0时 解得x 0 则函数的单增区间为 0 当ex 1 0时 解得x 0 即函数的单减区间为 0 归纳总结 1 函数导数与单调性的关系 若函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为增函数 如果f x 0 则f x 为减函数 2 本节课中 用导数去研究函数的单调性是中心 能灵活应用导数解题是目的