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梯形问题的解题策路与方法解决梯形问题经常要根据条件添加辅助线，把梯形问题转化为较简单的三角形或平行四边形问题解决，使一些分散的条件适当集中，再进行解答。一、延长两腰延长梯形的两腰，使它们交于一点，可得到两个相似三角形。例1如图，在梯形中，梯形的面积与梯形的面积相等。求证：。 分析：条件是两个梯形的面积相等，而结论是三线段长的平方关系，如果延长两腰交于一点，就可得到三个相似的三角形，再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论。证明：延长、使它们相交于点，。 同理，故得评注：面积与线段的平方关系可借助相似三角形来解决。此题添加辅助线后得到若干个相似三角形，把条件都集中在三角形中，有助于问题的解决。二、平移对角钱平移对角钱，一般是过小底的一个端点作一条对角线的平行线，与另一底的延长线相交，得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决。在解题中，平移一条对角线后得到一个直角三角形，并且所有条件在聚集在这个三角形中，使问题易于解决。三、作梯形的高从梯形小底的两端向大底引垂线，可以得到一个矩形和两个直角三角形。例 3 如图，梯形中，、为对角线，求证：分析：由结论联想到勾股定理，因此，分别过、作的垂线，垂足为、，得到和，分别用勾段定理，然后化简就可得到结论。证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则。同理，又，评注：证明平方关系，往往要构造直角三角形，使问题转化为解直角三角形。四、平移梯形的腰平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得到平行四边形。例3是如图，在梯形中，、分别是、的中点，若。，求。分析：由条件，我们通过平移、；构造直角三角形，使恰好是的中线。解：过作，分别交于、，是直角三角形，。 、分别是、的中点，为的中点，。 评注：这里平移样形的两腰解题，而过一腰的端点作另一腰的平行线也是常用的辅助线。五、过梯形一腰的中点构造全等三角形取一腰的中点，连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交，可得两个全等三角形。例 4如图，梯形中，、分别平分和，为中点，求证：。分析：要证明，可以利用为中点，延长与的延长线交于，得到，再证明即可。证明：延长、交于点F，显然。，。 又，是线段的垂直平分线。，。 评注：添加辅助线后，沟通了、与的联系，由线段垂直平分线性质得出，从而问题获得解决。六、将梯形补成平行四边形；例5 如图，梯形中，为腰的中点，求证：。分析：与梯形ABCD的面积关系不明显，如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形，它们之间的关系就清晰了。证明：延长，使，延长，使；则，则四边形是平行四边形。为的中点，连结，与交于点。连结、，则 。 ，是中点，为中点且是中点。四边形是平行四边形，评注：梯形补成平行四边形，各种关系明显、直观，解题思路清晰。通过解决以上问题可以看出，添加辅助线有助于把复杂的图形分解为简单的图
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