2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修1_2.docx

2.2.2反证法学 习 目 标核 心 素 养1了解反证法是间接证明的一种基本方法2理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题(重点、难点)通过反证法证明数学问题的学习，提升学生的逻辑推理、数学抽象素养.一、反证法一般地，由证明pq转向证明qrt，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，推出q为真的方法，叫做反证法二、反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾主要是指：(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾()解析(1)正确反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法(2)错误反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理(3)错误反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾答案(1)(2)(3)2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”，假设正确的是()A假设三个内角都不大于60B假设三个内角都大于60C假设三个内角至多有一个大于60D假设三个内角至多有两个大于60解析根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60.答案B3用反证法证明“若x210，则x1或x1”时，应假设_解析“x1或x1”的否定是“x1且x1”答案x1且x1用反证法证明否定性命题【例1】等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列思路探究第(1)问应用ana1(n1)d和Snna1n(n1)d两式求解第(2)问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明解(1)设等差数列an的公差为d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列1当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾2反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法3常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在1已知方程f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负数根证明假设x0是方程f(x)0的负数根，则x00，x01且ax00，所以ax0.又当x00时，0ax01，故01，即011,12，解得x02.这与x00矛盾， 所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根用反证法证明“至多”“至少”问题【例2】已知x，y，z均大于零，求证：x，y，z这三个数中至少有一个不小于4.思路探究本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明解假设x，y，z都小于4，即x4，y4，z4，于是得12，而2 2 2 12，这与0，y0，且xy2，求证：与至少有一个小于2.证明假设与都不小于2，即2，2.x0，y0，1y2x,1x2y，两式相加得2(xy)2(xy)xy2，这与已知中xy2矛盾假设不成立，原命题成立故与至少有一个小于2.用反证法证明“唯一性”命题探究问题1用反证法证明数学命题的步骤是什么？提示(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立2如何证明两条相交直线有且只有一个交点？提示假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以两条相交直线有且只有一个交点【例3】已知一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直思路探究解根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾图(2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.图在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，经过一点A只能有一条直线和平面垂直证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点证明由于f(x)在a，b上的图象连续不断，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即0B，则ab”的结论的否定应该是()AabBabCab Dab解析“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.答案B4用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为_解析a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”答案a，b，c中至少有一个偶数5若a，b，c是互不相等的非零实数，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个