高中数学 4.2.1实际问题中导数的意义课件 北师大版选修11.ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修1 1 导数应用 第四章 2导数在实际问题中的应用2 1实际问题中导数的意义 第四章 1 了解导数在实际问题中的意义 2 能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解 1 在物理学中 通常称力在单位时间内做的功为 它的单位是 2 在气象学中 通常把单位时间 如1时 1天等 内的降雨量称作 它是反映一次降雨 的一个重要指标 3 在经济学中 通常把生产成本y关于产量x的函数y f x 的导数称为 f x0 指的是当产量为x0时 生产成本的增加速度 也就是当产量为x0时 每增加一个单位的产量 需要增加f x0 个单位的成本 功率 瓦特 降雨强度 大小 边际成本 1 一质点的运动方程为s 5 3t2 则该质点在t 2时的速度等于 a 12b 12c 2d 7 答案 a 解析 s 6t s 2 12 2 一次降雨过程中 降雨量y是时间t 单位 h 的函数 用y f t 表示 则f 10 表示 a t 10时的降雨强度b t 10时的降雨量c 10小时的平均降雨量d t 10时的温度 答案 a 解析 f t 表示t时刻的降雨强度 故选a 3 某人拉动一个物体前进 他所做的功w是时间t的函数w w t 则w t0 表示 a t t0时做的功b t t0时的速度c t t0时的位移d t t0时的功率 答案 d 解析 w t 表示t时刻的功率 答案 v0 2a 解析 s t v0 at s 2 v0 2a m s 即t 2s时的瞬时速度为 v0 2a m s 5 人体血液中药物的质量浓度c f t 单位 mg ml 随时间t 单位 min 变化 若f 2 0 3 则f 2 表示 答案 服药2分钟后血液中药物的质量浓度以每分钟0 3mg ml的速度增加 设质点做直线运动 已知路程s 单位 m 是时间t 单位 s 的函数 s 3t2 2t 1 求 1 从t 2变到t 3时 s关于t的平均变化率 并解释它的实际意义 2 当t 2时的瞬时速度 3 当t 2时的加速度 导数在物理中的意义 3 设该质点的速度为vm s 则v t s t 6t 2 v t 6 v 2 6 即当t 2时的加速度为6m s2 方法规律总结 在日常生活和科学领域中 有许多需要用导数概念来理解的量 例如中学物理中 速度是路程关于时间的导数 线密度是质量关于长度的导数 功率是功关于时间的导数等 某物体走过的路程s 单位 m 是时间t 单位 s 的函数 s 3t 1 求函数s 3t 1在t 2处的导数s 2 并解释它的实际意义 答案 s 2 3m s 表示该物体在t 2时的速度为3m s 导数在生活中的应用 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率 所以 纯净度为90 时 费用的瞬时变化率是52 84元 t 纯净度为98 时 费用的瞬时变化率是1321元 t 方法规律总结 函数f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢 由上述计算可知 c 98 25c 90 它表示纯净度为98 左右时净化费用的变化率大约是纯净度为90 左右时净化费用变化率的25倍 这说明 水的纯净度越高 需要的净化费用就越多 而且净化费用增加的速度也越快 一杯80 的热红茶置于20 的房间里 它的温度会逐渐下降 温度t 单位 与时间t 单位 min 间的关系 由函数t f t 给出 请问 1 f t 的符号是什么 为什么 2 f 3 4的实际意义是什么 如果f 3 65 你能画出函数在点t 3min时图像的大致形状吗 解析 1 f t 是负数 因为f t 表示温度随时间的变化率 而温度是逐渐下降的 所以f t 为负数 2 f 3 4表明在3min附近时 温度约以4 min的速度下降 如图所示 导数在经济学中的应用 某食品厂生产某种食品的总成本c 单位 元 和总收入r 单位 元 都是日产量x 单位 kg 的函数 分别为c x 100 2x 0 02x2 r x 7x 0 01x2 试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg 250kg 300kg时的边际利润 并说明其经济意义 解析 1 根据定义知 总利润函数为l x r x c x 5x 100 0 01x2 所以边际利润函数为l x 5 0 02x 2 当日产量分别为200kg 250kg 300kg时的边际利润分别为l 200 1 元 l 250 0 元 l 300 1 元 其经济意义是 当日产量为200kg时 再增加1kg 则总利润可增加1元 当日产量为250kg时 再增加1kg 则总利润无增加 当日产量为300kg时 再增加1kg 则总利润反而减少1元 由此可得到 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点时 反而会使企业 无利可图 方法规律总结 导数在经济学中的应用是边际分析和弹性分析 边际和弹性是经济学中两个重要的概念 用导数来研究经济变量的边际和弹性的方法 称之为边际分析和弹性分析 边际函数 在经济学中 把函数f x 的导函数f x 称为f x 的边际函数 在点x x0处的值f x0 称之为f x 在点x x0处的边际值 或变化率 变化速度等 造船厂年最大造船量为20艘 造船x艘产值函数为r x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数c x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函数f x 的边际函数mf x 的定义为