2018_2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法练习新人教A版.docx

2.2.2 反证法 A基础达标1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60B.假设三内角都大于60C.假设三内角至少有一个大于60D.假设三内角至多有两个大于60解析：选B.“至少有一个”即“全部中最少有一个”，“至少有一个不大于60”的反面是“全部都大于60”.2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线解析：选C.假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.故应选C.3.设x0，则方程x2sin x的根的情况是（）A.有实根 B.无实根C.恰有一实根 D.无法确定解析：选B.x0时，x2，而2sin x2，但此二式中“”不可能同时取得，所以x2sin x无实根.4.设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数（）A.至少有一个不大于2 B.都小于2C.至少有一个不小于2 D.都大于2解析：选C.若a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz6，显然，矛盾，所以C正确.5.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了.”丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析：选C.若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙.6.在ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBAPC，求证：BAPCAP，用反证法证明时的假设为.解析：反证法对结论的否定是全面否定，BAPCAP的对立面是BAPCAP或BAPCAP.答案：BAPCAP或BAPCAP7.下列命题适合用反证法证明的是（填序号）.已知函数f（x）ax（a1），证明：方程f（x）0没有负实数根；若x，yR，x0，y0，且xy2，求证：和中至少有一个小于2；关于x的方程axb（a0）的解是唯一的；同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交.解析：是“否定性”命题；是“至少”类命题；是“唯一性”命题，且题中条件较少；不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明.答案：8.设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（填序号）.解析：若a，b，则ab1，但a1，b1，故不能推出.若ab1，则ab2，故不能推出.若a2，b1，则a2b22，故不能推出.对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：9.已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.证明：假设a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100矛盾，故假设错误.所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.10.如图所示，设SA、SB是圆锥的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.证明：如图所示，连接AB，假设AC平面SOB.因为直线SO在平面SOB内，所以ACSO.因为SO底面圆O，所以SOAB，所以SO平面SAB，所以平面SAB底面圆O.这显然矛盾，所以假设不成立，故AC与平面SOB不垂直.B能力提升11.若下列关于x的方程x24ax4a30（a为常数），x2（a1）xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（）A.B.1，）C.（2，0）D.0，）解析：选B.假设三个方程都没有实数根，则解得a1，故三个方程x24ax4a30，x2（a1）xa20，x22ax2a0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为a或a1.12.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A.2人 B.3人C.4人 D.5人解析：选B.假设满足条件的学生有4位及4位以上，则可知4位学生中必有两位语文成绩一样，且这两位同学数学成绩不同，那么两个人中会有一个人的成绩比另一个人好.这与“一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好”相矛盾，故排除C，D.假设满足条件的学生有3位，用a，b，c表示“优秀”“合格”“不合格”，用“（语，数）”来表示某学生的成绩，则满足题意的3位学生的成绩为（a，c），（c，a），（b，b），所以最多有3人.13.已知二次函数f（x）ax2bxc（a0）的图象与x轴有两个不同的交点.若f（c）0，且0xc时f（x）0.（1）证明：是函数f（x）的一个零点；（2）试用反证法证明：c.证明：（1）因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，所以f（x）0有两个不等实根x1，x2.因为f（c）0，所以x1c是f（x）0的一个根，又因为x1x2.所以x2，所以是f（x）0的另一个根，即是函数f（x）的一个零点.（2）由第一问知c，故假设c，易知0，由题知当0xc时，f（x）0，所以f0与f0矛盾，所以c.14.（选做题）设an是公比为q的等比数列.（1）推导an的前n项和公式；（2）设q1，证明数列an1不是等比数列.解：（1）设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，由得，（1q）Sna1a1qn，所以Sn，综上所述，Sn（2）证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，（a