2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程练习新人教A版.docx

第二章 圆锥曲线与方程(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1抛物线yx2的焦点坐标是()A(0，4) B(0，2)C. D.解析：选B.由题意，知抛物线标准方程为x28y，所以其焦点坐标为(0，2)，故选B.2已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A.依题意得c4，e2，a2，b2c2a212，因此所求的双曲线的标准方程为1，故选A.3若点P到直线x1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D.抛物线解析：选D.点P到直线x1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P到直线x2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线4双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A. B.C. D.解析：选A.抛物线y24x的焦点为F(1，0)，故双曲线1中，m0，n0且mnc21，又e 2，联立方程，解得m，n.故mn.5已知F1，F2为椭圆1(ab0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆的离心率e，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D.由椭圆的定义知|AF1|BF1|AB|4a16，所以a4.又e，所以c2，所以b242(2)24，所以椭圆的方程为1.6直线l过点(，0)且与双曲线x2y22仅有一个公共点，则这样的直线有()A1条 B2条C3条 D.4条解析：选C.点(，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点所以共有3条7已知双曲线与椭圆1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为xy0，则双曲线的方程为()Ax2y250 Bx2y224Cx2y250 D.x2y224解析：选D.因为双曲线与椭圆1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，且焦点坐标为(0，4)，(0，4)又双曲线的一条渐近线方程为xy0，所以可设双曲线方程为y2x2(0)，则248，24，故所求双曲线的方程为y2x224，即x2y224.8已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y D.x22y2解析：选A.焦点为F(0，1)，设P(p，q)，则p24q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x，y，即p2x，q2y1，代入p24q得，(2x)24(2y1)，即x22y1.9抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离最小值是()A. B.C. D.3解析：选A.设抛物线yx2上一点为(m，m2)，该点到直线4x3y80的距离为，当m时，取得最小值为.10AB为过椭圆1(ab0)中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则AFB面积的最大值为()Ab2 BabCac D.bc解析：选D.由椭圆的对称性知，A、B两点关于原点O对称，因此SAFB2SOFBc|yB|，故当|yB|b时，AFB面积最大，最大面积为bc.故选D.11已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k等于()A. B.C. D.解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20.由得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x24，根据抛物线的定义得，|FA|x1x12，|FB|x22.因为|FA|2|FB|，所以x12x22，由得x21(x22舍去)，所以B(1，2)，代入yk(x2)得k.12已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2 D.b22解析：选C.由题意，知a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，所以直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13已知抛物线y2ax过点A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为_解析：由题意知点A在抛物线y2ax上，得1a，所以a4，故y24x.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到此抛物线的焦点的距离为1.答案：14若椭圆1过抛物线y28x的焦点，且与双曲线x2y21有相同的焦点，则该椭圆的方程为_解析：抛物线y28x的焦点坐标为(2，0)，双曲线x2y21的焦点坐标为(，0)，由题意得所以a24，b22，所以椭圆的方程为1.答案：115过点E的直线与抛物线y22px(p0)交于A、B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|3，则p_解析：设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由焦半径公式，|AF|x1，又|AF|3，所以x13.由中点坐标公式，得所以x26，y22y1，所以y4y，2p4y42px142p，结合p0可得p4.答案：416已知点M(3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为_解析：设圆C与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|PF|，|ME|MB|，|NB|NF|，所以|PM|PN|PE|ME|(|PF|NF|)|MB|NB|422，所以点P的轨迹是以M(3，0)，N(3，0)为焦点的双曲线的右支，且a1，c3，所以b28.故双曲线的方程是x21(x1)答案：x21(x1)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知抛物线C：x24y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e.求椭圆E的方程解：因为椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆E的方程为1，半焦距为c(a0，b0，c0)由题意知F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点，所以b1，又由，a2b2c2，得a2，c.所以椭圆E的方程为y21.18(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P，求抛物线的方程和双曲线的方程解：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，因为点P在抛物线上，所以62p，所以p2，所以所求抛物线的方程为y24x.因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上，所以c1，即a2b21，又点P在双曲线上，所以1，由得或(舍去)所以所求双曲线的方程为4x2y21.19(本小题满分12分)已知点P(3，4)是椭圆1(ab0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)PF1F2的面积解：(1)令F1(c，0)，F2(c，0)，则b2a2c2.因为PF1PF2，所以kPF1kPF21，即1，解得c5，所以设椭圆方程为1.因为点P(3，4)在椭圆上，所以1.解得a245或a25.又因为ac，所以a25舍去故所求椭圆的方程为1. (2)由椭圆定义知|PF1|PF2|6， 又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100，2，得2|PF1|PF2|80，所以SPF1F2|PF1|PF2|20.20(本小题满分12分)(2017高考北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1，1)过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解：(1)由抛物线C：y22px过点P(1，1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1.故A为线段BM的中点21(本小题满分12分)已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解：(1)设F(c，0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1，2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，所以，当OPQ的面积最大时l的方程为yx2或yx2.22(本小题满分12分)已知A(3p，0)(p0)，B，C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足0，.(1)求动点Q的轨迹方程；(2)设过点A的直线与Q点的轨迹交于E，F两点，A(3p，0)，求直线AE，AF的斜率之和解：(1)设Q(x，y)，B(0，y0)，C(x0，0)，则(x0，y0)，(xx0，y)，因为，所以(x0，y0)(xx0，y)，所以x0，y0，所以B，C，