2018_2019学年高中数学第二章推理与证明练习新人教A版.docx

第二章 推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：1n1（n1），当n2时，中间式子等于（）A.1B.1C.1 D.1解析：选D.n2时中间式子的最后一项为，所以中间式子为1.2.用反证法证明命题：“若函数f（x）x2pxq，那么|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于”时，反设正确的是（）A.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都不小于B.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于C.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有两个小于D.假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有一个小于解析：选B.“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一个不小于”的反设为“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于”.3.设x0，则不等式x2，x3，x4，推广到xn1，则a（）A.2n B.2nC.n2 D.nn解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x的指数的指数次方，可得ann.4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f（x）0恒成立.因为f（x）x3在（1，1）内可导且单调递增，所以在（1，1）内，f（x）3x20恒成立.以上推理中（）A.大前提错误 B.小前提错误C.结论正确 D.推理形式错误解析：选A.f（x）在（a，b）内可导且单调递增，则在（a，b）内，f（x）0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1时，由nk到nk1左边需要添加的项是（）A. B.C. D.解析：选D.由nk到nk1时，左边需要添加的项是.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证 0 B.ac0 D.（ab）（ac）0解析：选C.要证明 a，只需证b2ac3a2，只需证（ac）2ac3a2，只需证2a2acc20，即证（ac）（2ac）0，即证（ac）（ab）0.7.若，则ABC是（）A.等边三角形B.有一个内角是30的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30的等腰三角形解析：选C.因为，由正弦定理得，所以.所以sin Bcos B，sin Ccos C，所以BC45，所以ABC是等腰直角三角形.8.已知f（x）x3x，a，b，cR，且ab0，ac0，bc0，则f（a）f（b）f（c）的值一定（）A.大于0 B.等于0C.小于0 D.正负都可能解析：选A.f（x）为奇函数，也是增函数，因此由ab0可得ab，所以f（a）f（b），即f（a）f（b），于是f（a）f（b）0，同理，f（a）f（c）0，f（b）f（c）0，所以f（a）f（b）f（c）0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A（1，0，0），B（1，0，0），则点集P（x，y，z）|PA|PB|1在空间中的轨迹描述正确的是（）A.以A，B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A，B为焦点的椭球体C.以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集P（x，y）|PA|PB|1是以A，B为焦点的双曲线的一支，点集P（x，y，z）|PA|PB|1在空间中的轨迹是以A，B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域是一个形状不规则的封闭图形，区域是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t取0，3上的任意值时，直线yt被区域和区域所截得的两线段长总相等，则区域的面积为（）A.4 B.C.5 D.解析：选B.根据题意，由祖暅原理分析可得的面积等于的面积，又是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以的面积为.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），则第60个“整数对”是（）A.（7，5） B.（5，7）C.（2，10） D.（10，2）解析：选B.依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到60f（n），则m，n的大小关系为.解析：因为当0af（n）得mn.答案：mn15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是.解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.答案：1和316.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，则第7行第4个数（从左往右数）为.解析：由“第n行有n个数且两端的数均为”可知，第7行第1个数为，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为.同理易知，第7行第3个数为，第7行第4个数为.答案：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）定义在1，1上的奇函数f（x），当a，b1，1，ab0时，有0.证明：函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直.证明：假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，则A，B两点的纵坐标相同.设它们的横坐标分别为x1和x2，x1x2，且x1，x21，1，则f（x1）f（x2）.又f（x）是奇函数，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）x1（x2）.又由题意，得0，且x1（x2）0，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）0，这与f（x1）f（x2）矛盾，故假设不成立，即函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直.18.（本小题满分12分）已知：A，B都是锐角，且AB90，（1tan A）（1tan B）2.求证：AB45.证明：因为（1tan A）（1tan B）2，展开化简为tan Atan B1tan Atan B.因为AB90，tan（AB）1.又因为A，B都是锐角，所以0AB180.所以AB45.19.（本小题满分12分）已知a0，b0，2cab，求证：cac.证明：要证cac.只需证ac，即证|ac|，只需证（ac）2（）2，只需证a22acc2c2ab，即证2aca2ab，因为a0，所以只需证2cab.因为2cab已知，所以原不等式成立.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点.求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE.证明：（1）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AD平面ABC，所以CC1AD.因为ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.因为AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.（2）因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点，所以A1FB1C1，因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由（1）知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.因为AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.21.（本小题满分12分）设函数f（x）x3，x0，1.证明：（1）f（x）1xx2；（2），所以f（x）.综上，f（x）.22.（本小题满分12分）在各项为正的