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Holder不等式与Minkowski不等式的证明赫德(Holder)不等式是通过Young不等式来证明的,而闵可夫斯基(Minkowski)不等式是通过赫德(Holder)不等式来证明的.Young不等式如果x,y0 ,实数p1 以及实数q 满足1p+1q=1 ,那么有1pxp+1qyqxy Young不等式的证明证明: 注意到1p+1q=1 ,所以(xyq1)p=xpyq ,于是原不等式两边同时除以yq ,再令t=xyq1 ,显然t0 原不等式等价为1ptp+1qt 令f(t)=1ptp+1qt ,求导得f(t)=tp11 因为p1 ,所以f(t)=tp11 在(0,1 上递减,在(1,+) 上递增,所以f(t) 的最小值在t=1 时取到,即f(t)f(1)=1p+1q1=0,t0 于是,Young不等式得证,等号成立条件x=yq1 .赫德不等式(Holder)如果a1,a2,an,b1,b2,bn 都是非负实数,实数p1 以及实数q 满足1p+1q=1 ,那么有(i=1napi)1p(i=1nbqi)1qi=1naibi 赫德不等式的证明证明:记S=(i=1napi)1p,T=(i=1nbqi)1q, 那么我们有Sp=i=1napi,Tq=i=1nbqi 由此得i=1napiSp=1,i=1nbqiTq=1 对于给定的i1,2,n ,利用Young不等式,可得aibiST1papiSp+1qbqiTq 将i 取遍1,2,n 并求和,得到i=1naibiST1pi=1napiSp+1qi=1nbqiTq=1p+1q=1 即得i=1naibiST=(i=1napi)1p(i=1nbqi)1q 闵可夫斯基不等式(Minkowski)如果a1,a2,an,b1,b2,bn 都是非负实数且实数p1 ,那么有(i=1napi)1p+(i=1nbpi)1p(i=1n(ai+bi)p)1p 闵可夫斯基不等式的证明证明:令正实数q 满足1p+1q=1 ,由Holder不等式,我们有i=1nai(ai+bi)p1(i=1napi)1p(i=1n(ai+bi)(p1)q)1q 注意到1p+1q=1 ,可得q(p1)=p ,于是由上面的不等式得i=1nai(ai+bi)p1(i=1napi)1p(i=1n(ai+bi)p)11p 同理可得i=1nbi(ai+bi)p1(i=1nbpi)1p(i=1n(ai+bi)p)11p 两不等式相加,即得i=1n(ai+bi)p(i=1napi)1p+(i=1nbpi)1p)(i=1n(ai+bi)p)11p 两边同时除以(i=
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