高中数学 第1部分 第二章 §7 向量应用举例课件 北师大版必修4.ppt

第二章 7 把握热点考向 考点一 考点二 考点三 理解教材新知 应用创新演练 向量作为一种工具 有着极其丰富的实际背景 在数学和物理学中具有广泛的应用 问题1 利用向量方法可以解决平面几何中哪些问题 提示 计算长度 角度 研究平行与垂直问题都可转化为向量法去解决 问题2 物理学中力 速度 位移的合成与分解 用向量法解释实质是什么 提示 实质就是向量的加减法 问题3 利用向量可解决解析几何中哪些问题 提示 两点的距离 线段的长度 直线夹角等问题 1 点到直线的距离公式点m x0 y0 到直线l ax by c 0的距离d 2 直线l ax by c 0的法向量 1 与直线的方向向量的向量称为该直线的法向量 2 若直线l的方向向量v b a 则直线l的法向量n a b 垂直 1 确定直线的方向向量与法向量是用向量法解决直线问题的关键 2 用向量法解决几何问题或物理问题的关键是转化为向量问题 即建立向量模型 解决向量问题后再作出相应问题的结论 例1 已知直线l过点a 1 1 且它的一个法向量为n 2 1 1 求直线l的一般方程 2 若与直线l垂直的直线l1经过点b 2 0 求l1的一般方程 思路点拨 确定直线的斜率后 再写出方程 精解详析 1 直线l的一个法向量为n 2 1 直线l的一个方向向量为v 1 2 直线l的斜率为2 直线l的点斜式方程为y 1 2 x 1 整理得2x y 1 0 故直线l的一般方程为2x y 1 0 1 过点a 1 2 且平行于向量a 3 1 的直线方程为 答案 x 3y 7 0 2 已知直线l1 ax 2y 6 0与l2 x a 1 y a2 1 0平行 求实数a的值 解 直线l1的法向量n1 a 2 直线l2的法向量n2 1 a 1 l1 l2 n1 n2 a a 1 1 2 0 解得a 1或a 2 当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 2y 0 l1 l2 当a 2时 l1 x y 3 0 l2 x y 3 0 l1与l2重合 舍去a 2 综上所述 a 1 例2 已知正方形abcd中 e f分别是cd ad的中点 be cf交于点p 求证 1 be cf 2 ap ab 思路点拨 先建立坐标系 再利用向量的坐标进行证明 精解详析 建立如图所示的平面直角坐标系 设ab 2 则a 0 0 b 2 0 c 2 2 e 1 2 f 0 1 一点通 利用向量证明几何问题有两种途径 1 基向量法 通常先选取一组基底 模及两者之间的夹角已知的向量 然后将问题中出现的向量用基底表示 再利用向量的运算法则 运算律运算 最后把运算结果还原为几何关系 2 坐标法 利用平面向量的坐标表示 可以将平面几何中长度 垂直 平行等问题很容易地转化为代数运算的问题 运用此种方法必须建立适当的坐标系 实现向量的坐标化 3 求证 平行四边形对角线的平方和等于其四条边的平方和 4 如右图 等腰直角三角形abc中 ac bc d是bc的中点 e是ab上的点 且ae 2be 求证 ad ce 证明 如右图 以c为坐标原点 以ca cb所在的直线为x轴 y轴建立坐标系 设a a 0 ac bc b 0 a 1 如果他径直游向河对岸 水的流速为4km h 他实际沿什么方向前进 速度大小为多少 2 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进 求出其与河岸夹角的余弦值即可 他实际前进的速度大小为多少 思路点拨 解本题首先要根据题意作图 再把物理问题转化为向量的有关运算求解 6分 一点通 1 用向量解决物理问题首先要建立数学模型 把物理问题转化为数学问题 其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系 2 速度 加速度 位移 力的合成和分解 实质上就是向量的加减法运算 求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则 3 在数学中 向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的 这也是向量在物理中的主要应用之一 5 两个大小相等的共点力f1 f2 当它们夹角为90 时 合力大小为20n 则当它们的夹角为120 时 合力大小为 答案 b 6 两个力f1 i j f2 4i 5j作用于同一质点 使该质点从点a 20 15 移动到点b 7 0 其中i j分别是与x轴 y轴同方向的单位向量 求 1 f1 f2分别对该质点所做的功 2 f1 f2的合力f对该质点所做的功 1 用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题 对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键 2