概率统计教学课件PPT 条件概率与事件的独立性教学课件PPT.ppt

1 4条件概率与事件的独立性 在解决许多概率问题时 往往需要在有某些附加信息 条件 下求事件的概率 1 4 1 条件概率 条件概率的概念 如在事件b发生的条件下求事件a发生的概率 将此概率记作p a b 一般地p a b p a p a 1 6 例如 掷一颗均匀骰子 a 掷出2点 b 掷出偶数点 p a b 已知事件b发生 此时试验所有可能结果构成的集合就是b p a b 1 3 b中共有3个元素 它们的出现是等可能的 其中只有1个在集a中 容易看到 p a b 于是 p a 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取一件 记 b 取到正品 a 取到一等品 p a b 则 p a 3 10 b 取到正品 p a b 3 7 本例中 计算p a 时 依据的前提条件是10件产品中一等品的比例 a 取到一等品 计算p a b 时 这个前提条件未变 只是加上 事件b已发生 这个新的条件 这好象给了我们一个 情报 使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题 注1 如果b 则条件概率即为前面所定义的概率 如果b 则条件概率相当于将样本空间缩小为b 注2 事件a发生的条件下事件 b发生的条件概率 设a b为两事件 p b 0 则 定义 称为事件b发生的条件下事 件a发生的条件概率 记为 1 古典概型 可用缩减样本空间法 2 其它概型 用定义与有关公式 注3 条件概率的计算方法 条件概率也是概率 故具有概率的性质 上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质 除此以外有下列性质 有限可加性 可减性 例1考虑有两个小孩的家庭 问其中至少有一个女 孩的家庭中 另一小孩也是女孩的概率有多大 假设生男 生女是等可能的 单调性 加法公式 半可加性 b 至少有一个女孩家庭 男 女 女 男 女 女 于是所求概率为 ab 至少有一个为女孩家庭中 另一个小孩也是女孩 女 女 解 根据题意样本空间为 男 男 男 女 女 男 女 女 例2一类动物由出生起活到20或20岁以上的 概率为0 8 活到25岁以上的概率为0 4 现假设此 类动物中有一动物为20岁 问其活到25岁以上的 解 设b 活到20或20岁以上 a 活到25岁以上 概率是多少 求p a b a b 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式 推广 二 乘法公式 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决 5张同样的卡片 只有一张上写有 入场券 其余的什么也没写 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 后抽比先抽的确实吃亏吗 到底谁说的对呢 让我们用概率论的知识来计算一下 每个人抽到 入场券 的概率到底有多大 大家不必争先恐后 你们一个一个按次序来 谁抽到 入场券 的机会都一样大 我们用ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 p a1 1 5 p 4 5 第1个人抽到入场券的概率是1 5 也就是说 则表示 第i个人未抽到入场券 因为若第2个人抽到了入场券 第1个人肯定没抽到 也就是要想第2个人抽到入场券 必须第1个人未抽到 由于 由乘法公式 p a2 4 5 1 4 1 5 计算得 这就是有关抽签顺序问题的正确解答 同理 第3个人要抽到 入场券 必须第1 第2个人都没有抽到 因此 4 5 3 4 1 3 1 5 继续做下去就会发现 每个人抽到 入场券 的概率都是1 5 抽签不必争先恐后 也就是说 1 设p b 0 且a b 则下列必然成立的是 p a p a b p a p a b 2 p a 0 6 p a b 0 84 p b a 0 4 则p b 课堂练习 显然p a b p a 这就是说 已知事件b发生 并不影响事件a发生的概率 这时称事件a b独立 三 事件的独立性 a 第二次掷出6点 b 第一次掷出6点 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设 定义 设a b为两事件 若 则称事件a与事件b相互独立 注1 两事件a与b相互独立是相互对称的 若 注2 若 则 事件a与事件b相互独立 和 事件a与事件b互斥 互不相容 不能同时成立 注3 若 请问 如图的两个事件是独立的吗 即若a b互斥 且p a 0 p b 0 则a与b不独立 反之 若a与b独立 且p a 0 p b 0 则a b不互斥 而p a 0 p b 0 故a b不独立 我们来计算 p ab 0 设a b为互斥事件 且p a 0 p b 0 下面四个结论中 正确的是 前面我们看到独立与互斥的区别和联系 1 p b a 02 p a b p a 3 p a b 04 p ab p a p b 设a b为独立事件 且p a 0 p b 0 下面四个结论中 正确的是 1 p b a 02 p a b p a 3 p a b 04 p ab p a p b 再请你做个小练习 两事件相互独立的性质 试证其一 事实上 性质2 a b两个事件独立 则 三事件a b c相互独立 是指下面的关系式同时成立 2 定义 注2 仅满足 1 式时 称a b c两两独立 也称a b c为两两独立的事件组 注1 三事件a b c相互独立 要求满足 1 2 式 也称a b c为相互独立的事件组 注3 关系式 1 2 不能互相推出 n个事件a1 a2 an相互独立是指下面的关系式同时成立 定义 两两独立的事件组未必是独立的事件组 独立的性质 性质2 若a1 a2 an相互独立 则 例已知事件a b c相互独立 证明事件 证 概率是多少 这三种品质相互独立 解分别用a b c表示具有上述品质的姑娘 则所求概率为 根据题意有 即十亿分之一 例有一个单身汉 他梦想的姑娘有一笔直的鼻 梁 金色的头发 并有充分的概率统计知识 假 设对应的概率分别为0 01 0 01 0 00001 那么他遇 到第一位姑娘 或随机挑一位 具有前三种品质的 例三人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少 解将三人编号为1 2 3 所求为 记ai 第i个人破译出密码 i 1 2 3 已知 p a1 1 5 p a2 1 3 p a3 1 4 1 2 1 1 p a1 1 p a2 1 p a3 3 一个元件 或系统 能正常工作的概率称为元件 或系统 的可靠