湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.1.2求曲线的方程课件 新人教版选修21.ppt

2 1 2求曲线的方程 一 坐标法和解析几何1 坐标法 坐标法是指借助于 通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法 2 解析几何 解析几何是指数学中用 研究几何图形的知识形成的学科 坐标系 坐标法 3 解析几何研究的主要问题 1 曲线研究方程 根据已知条件 求出 2 方程研究曲线 通过曲线的方程 研究 思考 用坐标法研究解析几何问题的前提条件是什么 提示 用坐标法研究解析几何问题时首先要建立适应的平面直角坐标系 这样 点有了坐标 曲线也就有了方程的形式 表示曲线的方程 曲线的性质 二 求曲线方程的一般步骤 有序实数对 x y m p m 坐标 最简 曲线上 判断 正确的打 错误的打 1 在求曲线方程时 如果点有了坐标或曲线有了方程 则说明已经建立了平面直角坐标系 2 化简方程 x y 为 y x 是恒等变形 3 按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验 提示 1 正确 点有了坐标或曲线有了方程是已经建系的标志 2 错误 x y 化简的形式为y x 3 错误 一般情况下 化简前后方程的解集是相同的 但是在求解 化简过程中极易产生增解或漏解 检验这一步骤是应该有的 故此说法不正确 答案 1 2 3 知识点拨 1 平面直角坐标系的选取原则 1 以已知定点为原点 2 以已知定直线为坐标轴 x轴或y轴 3 以已知线段所在直线为坐标轴 x轴或y轴 以已知线段的中点为原点 4 以已知互相垂直的两定直线为坐标轴 5 如果曲线 或轨迹 有对称中心 通常以对称中心为原点 6 如果曲线 或轨迹 有对称轴 通常以对称轴为坐标轴 x轴或y轴 7 尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上 或者让尽量多的点在坐标轴上 2 对求曲线方程的五个步骤的四点说明 1 在第一步中 如果原题中没有确定坐标系 首先要建立适当的坐标系 坐标系建立得当 可使运算过程简单 所得的方程也较简单 2 第二步是求方程的重要一环 要仔细分析曲线的特征 注意揭示隐含条件 抓住与曲线上任意一点m有关的等量关系 列出几何等式 此步骤也可以省略 而直接将几何条件用动点的坐标表示 3 在化简的过程中 注意运算的合理性与准确性 尽量避免 失解 或 增解 4 第五步的说明可以省略不写 如有特殊情况 可以适当说明 如某些点虽然其坐标满足方程 但不在曲线上 可以通过限定方程中x 或y 的取值予以剔除 3 对求曲线方程的三点说明 1 求曲线方程时 由于建系的方法不同 求得的方程也不同 2 一般地 求哪个点的运动轨迹方程 就设哪个点的坐标是 x y 而不设成 x0 y0 或 x1 y1 3 化简方程时 一般将方程f x y 0化成关于x y的整式形式 并且要保证化简过程的恒等性 类型一直接法求曲线方程 典型例题 1 已知动点m到a 2 0 的距离等于它到直线x 1的距离的2倍 则点m的轨迹方程为 2 2013 珠海高二检测 已知点a 2 0 b 2 0 直线ap与直线bp相交于点p 它们的斜率之积为 求点p的轨迹方程 解题探究 1 从题1中的条件来看是否需要建立平面直角坐标系 2 在什么情况下可用直接法求曲线的方程 探究提示 1 因题1中已知a 2 0 故不需要建立平面直角坐标系 2 一般地 当动点满足的条件非常明显 可以很容易地建立条件等式 这时一般可采用直接法求曲线的方程 解析 1 设m x y 由题意 得 2 x 1 化简得 3x2 12x y2 0 即y2 3x2 12x 答案 y2 3x2 12x2 设点p x y 直线ap的斜率kap x 2 直线bp的斜率kbp x 2 根据已知 有 x 2 化简得 y2 1 x 2 拓展提升 1 直接法求点的轨迹方程的两个关键关键一 建立恰当的平面直角坐标系 关键二 找到所求动点满足的关系式 2 轨迹方程 与 轨迹 的辨析 变式训练 已知点m到x轴的距离等于到y轴的距离的2倍 求点m的轨迹方程 解析 设动点m的坐标为 x y 则点m到x轴 y轴的距离分别为 y x 由题意知 y 2 x 整理得y 2x 点m的轨迹方程为y 2x 类型二代入法求曲线的方程 典型例题 1 设圆c x 1 2 y2 1 过原点o作圆的任意弦 则所作弦的中点的轨迹方程是 2 设定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 以om on为两边作平行四边形monp 求点p的轨迹方程 解题探究 1 若已知p1 x1 y1 p2 x2 y2 则线段p1p2中点p的坐标是什么 2 题2哪些点的坐标已知 哪些点满足已知曲线的方徎 借助什么方法可用这些点表示点p的坐标 探究提示 1 据中点坐标公式知中点p的坐标为 2 从题目的已知条件可知 点m与点o的坐标已知 点n满足已知曲线的方程 可借助中点坐标公式 op的中点坐标与mn的中点坐标相同表示出点p的坐标 解析 1 设oq为过o的一条弦 p x y 为其中点 q x1 y1 则 又 x1 1 2 y12 1 2x 1 2 4y2 1 0 x 1 答案 2x 1 2 4y2 1 0 x 1 2 如图所示 设p x y n x0 y0 则线段op的中点坐标为 线段mn的中点坐标为 因为平行四边形的对角线互相平分 所以从而由n x 3 y 4 在圆上 得 x 3 2 y 4 2 4 因此所求p点的轨迹方程为 x 3 2 y 4 2 4 但应除去两点 和 互动探究 若把题2中mn的中点记为q 试求点q的轨迹方程 解题指南 采用代入法求解 解析 设q x y n x0 y0 则由n在圆x2 y2 4上运动 2x 3 2 2y 4 2 4 故点q的轨迹方程为 x 2 y 2 2 1 拓展提升 1 适合用代入法 相关点法 求轨迹方程的动点的特点 1 特点 动点随另一点动而动 2 解释 如果动点p x y 依赖于另一动点q x0 y0 点q动则p动 而点q又在某已知曲线上 这种情况下可采用代入法 相关点法 点q为相关点 2 代入法求曲线方程的步骤 变式训练 已知点a 0 1 当点b在曲线y 2x2 1上运动时 线段ab的中点m的轨迹方程是 解析 设m x y b x0 y0 由题意知 b在曲线y 2x2 1上 2y 1 2 2x 2 1 即y 4x2 这就是点m的轨迹方程 答案 y 4x2 类型三定义法求轨迹方程 典型例题 1 由动点p向圆x2 y2 1引两条切线pa pb 切点分别为a b apb 60 则动点p的轨迹方程为 2 在rt abc中 ab 2a a 0 求直角顶点c的轨迹方程 解题探究 1 过圆外一点向圆引两切线 切线长的关系是什么 2 到定点的距离等于定长的点的轨迹是什么 探究提示 1 从圆外一点引圆的两条切线 则切线长相等 2 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心 以定长为半径的圆 解析 1 如图 pa pb 连接po 则 opb 30 ob 1 po 2 p点的轨迹是以o为圆心以2为半径的圆 即x2 y2 4 答案 x2 y2 4 2 如图 以ab所在直线为x轴 以线段ab的垂直平分线为y轴建立直角坐标系 则a a 0 b a 0 设c x y 是平面内的任意一点 连接co 则由直角三角形的性质知 oc ab 2a a 因而点c的轨迹是以坐标原点为圆心 以a为半径的圆 除去与x轴的交点 其轨迹方程为x2 y2 a2 x a 拓展提升 1 适用定义法求轨迹的特点如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可依据定义写出轨迹方程 2 定义法求轨迹方程的策略 1 要熟悉各种常见的曲线的定义 2 要善于利用数形结合的方法 利用图形具有的相关几何性质寻找等量关系 3 根据等量关系和曲线的定义确定动点的轨迹方程 变式训练 长为2的线段ab的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动 求线段ab的中点m的轨迹方程 解题指南 根据直角三角形的性质可知 斜边上的中线等于斜边的一半 则点m到一定点的距离等于定长 由此可知点m的轨迹是圆 建立适当的坐标系即可求得其方程 解析 如图 以这两条直线为坐标轴 建立直角坐标系 设m x y 由题意知 om ab 1 点m的轨迹是以o为圆心 1为半径的圆 点m的轨迹方程是x2 y2 1 参数法求曲线方程 典型例题 1 动点p x y 满足 t为参数 则点p的轨迹方程为 2 在平面直角坐标系中 o为原点 a 1 0 b 2 2 若点c满足其中t r 则点c的轨迹方程是 解析 1 由 得x2 y2 4 点p的轨迹方程为x2 y2 4 答案 x2 y2 4 2 设c x y x y 1 0 t 1 2 消去t得2x y 2 0 故点c的轨迹方程为2x y 2 0 答案 2x y 2 0 拓展提升 参数法的定义及消参法 1 参数法的定义求曲线方程时 若x y的关系不明显或难以寻找 可借助中间量 即参数 使x和y建立起联系 然后再从式子中消去参数得到曲线方程 这种方法叫做参数法求曲线的方程 2 消去参数的常见方法用参数表示动点坐标后 消参时可灵活应用式子的加 减 乘 除 平方等运算 最后注意参数的值对动点坐标范围的限制 规范解答 直接法在求点的轨迹中的应用 典例 条件分析 规范解答 如图 过m作圆的切线mn n为切点 设m x y 由题意知 mn mq on 3分由于 mn mq on 1 1 6分两边平方整理得2x 3 2 再两边平方整理得3x2 y2 8x 5 0 3 即 9 x 2 3y2 1 10分 2x 3 中2x 3 0 x 点m的轨迹方程为9 x 2 3y2 1 x 12分 失分警示 防范措施 1 数形结合的意识在解决平面几何问题时 要注意数形结合思想的使用 如本例中切线长的表示 2 隐含条件的挖掘在对方程的化简整理过程中要注意隐含条件的挖掘 确保变形的每步都为恒等变形 如本例中的限制条件x 类题试解 已知 abc的周长为18 ab 8 求顶点c的轨迹方程 解析 以线段ab的中点o为原点 线段ab所在直线为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴 建立直角坐标系 如图所示 ab 8 a 4 0 b 4 0 设c x y 则 ac bc 10 整理 得9x2 25y2 225 点c不在x轴上 y 0 顶点c的轨迹方程为9x2 25y2 225 y 0 1 已知点a 1 0 b 1 0 动点p x y 满足则点p的轨迹方程是 a x y2 1b x y2 1c x2 y2 1d x2 y2 1 解析 选c 由题意得 1 x y 1 x y 由得 1 x 1 x y 2 0 即x2 y2 1 2 到a 2 3 和b 4 1 的距离相等的点m的轨迹方程是 a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0 解析 选c 设动点m x y 由 ma mb 得整理得x y 1 0 3 直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是 a x y 1b x y 1c x y 1d x y 1 解析 选c 设动点 x y 由题意知 x y 1或 y x 1 即 x y 1 4 点p是曲线2x2 y2 2上的动点 o为坐标原点 m是op的中点 则点m的轨迹方程是 解析 设m x y p x0 y0 则x0 2x y0 2y 点p在2x2 y2 2上 2x02 y02 2 代入整理得4x2 2y2 1 答案 4x2 2y2 1 5 已知两点a 2 0 b 6 0 a