高中数学 第四章 §2 2.2 最大值、最小值问题课件 北师大版选修11.ppt

第四章 22 2 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 考点四 假设函数y f x y g x y h x 在闭区间 a b 的图像都是一条连续不断的曲线 如下图所示 观察图像 问题1 这三个函数在 a b 上一定能够取得最大值 最小值吗 提示 一定能 问题2 y h x 在开区间 a b 内有最值和极值吗 提示 无最值 也无极值 问题3 如何求函数在区间 a b 上的最值 提示 先求出 a b 内的极值 再求区间端点值进行比较 最大的就是最大值 最小的就是最小值 1 函数y f x 在区间 a b 上的最大 小 值点x0指的是 函数在这个区间上的函数值都不超过 不小于 2 最大值和最小值统称为 所有点 f x0 最值 1 函数的最大值 最小值是一个整体概念 最大 小 值必须是整个区间内所有函数值中最大 小 的 2 如果在 a b 上函数y f x 图像是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值与最小值 思路点拨 先求函数在给定区间的极值 然后再与端点值比较 即可确定函数的最值 当x 0或2时 f x 取最大值1 当x 1时 f x 取最小值 2 当x 0时 f x 取最小值0 当x 2 时 f x 取最大值 一点通 求解函数在闭区间上的最值 在熟练掌握求解步骤的基础上 还须注意以下几点 1 对函数进行准确求导 2 研究函数的单调性 正确确定极值和区间端点的函数值 3 比较极值与区间端点函数值的大小 答案 a 思路点拨 1 利用导数易求f x 的单调区间 对于 2 可转化为求f x 的最大值小于m 一点通 解决恒成立问题 常用方法是转化为求函数的最值问题 通过分离参数 要使m f x 恒成立 只需m f x 的最大值即可 同理 要使m f x 恒成立 只需m f x 的最小值即可 3 已知函数f x x3 3x2 c 若当x 1 3 时 f x 1 4c2恒成立 求实数c的取值范围 解 要使f x 1 4c2恒成立 即x3 3x2 c 1 4c2恒成立 也就是x3 3x2 1 4c2 c在 1 3 上恒成立 令g x x3 3x2 1 则g x 3x2 6x 3x x 2 x 2是函数的极值点 4 已知函数f x xlnx 1 求f x 的最小值 2 若对所有的x 1都有f x ax 1 求实数a的取值范围 例3 某地政府为科技兴市 欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园 已知ab bc oa bc 且 ab bc 4km ao 2km 曲线段oc是以点o为顶点且开口向上的抛物线的一段 如果要使矩形的两边分别落在ab bc上 且一个顶点落在曲线段oc上 问应如何规划才能使矩形工业园的用地面积最大 并求出最大的用地面积 精确到0 1km2 思路点拨 建立坐标系 求出oc所在抛物线的方程 用p 在oc上 的坐标表示矩形的面积 再求最大值 一点通 对于面积 容积的最值问题 正确设出变量 准确写出面积 容积的表达式是解决问题的关键 利用导数来求函数的最值是解决问题的方法 若在所给区间 a b 上 函数f x 存在唯一的极值 必为函数的最值 5 用总长为14 8m的钢条制成一个长方形容器的框架 如果所制作容器的底面一边比另一边长0 5m 那么高为多少时容器的容积最大 并求出它的最大容积 6 将一段长为100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆 问如何截才能使正方形与圆面积之和最小 例4 12分 如图 某工厂拟建一座平面图为矩形 且面积为200m2的三级污水处理池 由于地形限制 长 宽都不能超过16m 如果池外周壁建造单价为每米400元 中间两条隔墙建造单价为每米248元 池底建造单价为每平方米80元 池壁厚度忽略不计 且池无盖 1 写出总造价y 元 与污水处理池长x m 的函数关系式 并指出其定义域 2 污水处理池的长和宽各为多少时 污水处理池的总造价最低 并求出最低总造价 一点通 费用 用料最省 成本最低 利润最大等问题是日常生活中常见问题 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确写出函数表达式 准确求导 把数学结论返回到实际问题中去 7 某商品每件成本9元 售价为30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 单位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 一星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解 1 设商品降价x元 0 x 30 则多卖出的商品件数为kx2 由题意24 k 22 k 6 则此时卖出的商品件数为432 6x2 每件商品的利润为30 9 x 21 x 商品的销售利润f x 21 x 432 6x2 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 2 f x 18x2 252x 432 18 x2 14x 24 令f x 0得x 2或