高中数学（自主初探+核心归纳+案例展示）第二章 2.2.4 平面与平面平行的性质课件 新人教A版必修2.ppt

2 2 4平面与平面平行的性质 平面与平面平行的性质定理 平行 a b 思考 两个平面平行 其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗 提示 一定平行于另一个平面 因为两个平面平行 则两平面无公共点 即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点 由线面平行的定义可知 直线与平面平行 知识点拨 对平面与平面平行的性质定理的三点说明 1 两个平面平行的性质定理揭示了 两个平面平行之后它们具有什么样的性质 该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理 可简述为 若面面平行 则线线平行 2 用该定理判断直线a与b平行时 必须具备三个条件 平面 和平面 平行 即 平面 和 相交 即 a 平面 和 相交 即 b 以上三个条件缺一不可 3 在应用这个定理时 要防止出现 两个平面平行 则一个平面内的直线平行于另一个平面内的一切直线 的错误 类型一对面面平行性质的理解 典型例题 1 平面 平面 直线a 直线b 下面四种情形 1 a b 2 a b 3 a与b异面 4 a与b相交 其中可能出现的情形有 a 1种b 2种c 3种d 4种 2 给出四种说法 1 若平面 平面 平面 平面 则平面 平面 2 若平面 平面 直线a与 相交 则a与 相交 3 若平面 平面 p pq 则pq 4 若直线a 平面 直线b 平面 且 则a b 其中正确说法的序号是 解题探究 1 两个平面平行的定义是什么 空间中两条直线有哪几种位置关系 2 平面与平面平行是否有传递性 一条直线与两个平行平面的位置关系可能有哪些情况 过直线外一点可以作几条直线与已知直线平行 过平面外一点可以作几条直线与已知平面平行 探究提示 1 1 如果两个平面没有公共点 那么这两个平面互相平行 2 空间中两条直线有平行 相交和异面三种位置关系 2 1 平面与平面平行有传递性 2 一条直线与两个平行平面的位置关系可能有 在其中一个平面内 与两个平面都平行 与两个平面都相交 3 过直线外一点可以作惟一一条直线与已知直线平行 4 过平面外一点可以作无数条直线与已知平面平行 解析 1 选c 因为平面 平面 直线a 直线b 所以直线a与直线b无公共点 当直线a与直线b共面时 a b 当直线a与直线b异面时 a与b所成的角大小可以是90 综上知 1 2 3 都有可能出现 共有3种情形 2 1 正确 证明如下 如图 在平面 内取两条相交直线a b 分别过a b作平面 使它们分别与平面 交于两相交直线a b 因为 所以a a b b 又因为 同理在平面 内存在两相交直线a b 使得a a b b 所以a a b b 所以 2 正确 若直线a与平面 平行或直线a 则由平面 平面 知a与 无公共点或a 这与直线a与 相交矛盾 所以a与 相交 3 正确 如图 过直线pq作平面 a b 由 得a b 因为pq pq 所以pq b 因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 所以直线a与直线pq重合 因为a 所以pq 4 错误 若直线a 平面 直线b 平面 且 则a与b平行 相交和异面都有可能 答案 1 2 3 互动探究 若题2中第 4 个命题 条件 与结论 a b 互换 是否正确 解析 错误 若直线a 平面 直线b 平面 且a b 则 或 与 相交 拓展提升 常用的面面平行的其他几个性质 1 两个平面平行 其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 2 夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等 3 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4 两条直线被三个平行平面所截 截得的对应线段成比例 5 如果两个平面分别平行于第三个平面 那么这两个平面互相平行 类型二面面平行性质定理的应用 典型例题 1 如图 已知平面 p 且p 过点p的直线m与 分别交于a c 过点p的直线n与 分别交于b d 且pa 6 ac 9 pd 8 则bd的长为 2 已知 如图 三棱柱abc a1b1c1中 点d d1分别为ac a1c1上的点 若平面bc1d 平面ab1d1 求的值 解题探究 1 关于三角形一边的平行线有哪些性质 2 应用平面与平面平行的性质定理证题的关键是什么 探究提示 1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线截得的相应线段成比例 2 应用平面与平面平行的性质定理关键是找出或作出第三个平面与已知两个平行平面相交 解析 1 因为ac bd p 所以经过直线ac与bd可确定平面pcd 因为 平面pcd ab 平面pcd cd 所以ab cd 所以所以答案 2 如图 连接a1b交ab1于点o 连接od1 由棱柱的性质 知四边形a1abb1为平行四边形 所以点o为a1b的中点 因为平面bc1d 平面ab1d1 且平面a1bc1 平面bdc1 bc1 平面a1bc1 平面ab1d1 d1o 所以bc1 d1o 所以d1为线段a1c1的中点 所以d1c1 a1c1 因为平面bc1d 平面ab1d1 且平面aa1c1c 平面bdc1 dc1 平面aa1c1c 平面ab1d1 ad1 所以ad1 dc1 又因为ad d1c1 所以四边形adc1d1是平行四边形 所以ad c1d1 a1c1 ac 所以 1 互动探究 题1中 若点p在平面 之间 如图 其他条件不变 试求bd的长 解析 与题1同理 可证ab cd 所以即所以bd 24 拓展提升 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 变式训练 如图所示 a1b1c1d1 abcd是四棱台 求证 b1d1 bd 证明 根据棱台的定义可知 bb1与dd1相交 所以bd与b1d1共面 又因为平面abcd 平面a1b1c1d1 且平面bb1d1d 平面abcd bd 平面bb1d1d 平面a1b1c1d1 b1d1 所以b1d1 bd 类型三线线平行 线面平行和面面平行的综合应用 典型例题 1 2013 杭州高二检测 已知直线a 平面 平面 平面 则a与 的位置关系为 2 如图 在四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 2cd e e1分别是棱ad aa1上的点 设f是棱ab的中点 证明 直线ee1 平面fcc1 解题探究 1 直线与平面有哪几种位置关系 证明直线与平面平行时要特别注意什么 2 根据平面与平面平行的性质 要证明直线ee1 平面fcc1 可以如何进行转化 探究提示 1 有直线与平面相交 直线与平面平行和直线在平面内三种位置关系 证明直线与平面平行时要特别注意说明直线在平面外 2 根据平面与平面平行的性质 要证明直线ee1 平面fcc1 可以转化为证明直线ee1所在的平面与平面fcc1平行 解析 1 若a 则显然满足题目条件 若a 过直线a作平面 b c 于是由直线a 平面 得a b 由 得b c 所以a c 又a c 所以a 答案 a 或a 2 因为f为ab的中点 所以ab 2af 又因为ab 2cd 所以cd af 因为ab cd 所以cd af 所以afcd为平行四边形 所以fc ad 又fc 平面add1a1 ad 平面add1a1 所以fc 平面add1a1 因为cc1 dd1 cc1 平面add1a1 dd1 平面add1a1 所以cc1 平面add1a1 又fc cc1 c 所以平面add1a1 平面fcc1 又ee1 平面add1a1 所以ee1 平面fcc1 拓展提升 1 空间中各种平行关系相互转化关系的示意图 2 证明直线与直线平行的方法 1 平面几何中证明直线平行的方法 如同位角相等 两直线平行 三角形中位线的性质 平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等 2 公理4 3 线面平行的性质定理 4 面面平行的性质定理 3 证明直线与平面平行的方法 1 线面平行的判定定理 2 两个平面平行 其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 变式训练 如图 矩形abcd和梯形befc有公共边bc be cf 求证 ae 平面dcf 证明 因为abcd是矩形 所以ab cd 又ab 平面dcf cd 平面dcf 所以ab 平面dcf 同理 be 平面dcf 因为ab be b 所以平面abe 平面dcf 又因为ae 平面abe 所以ae 平面dcf 规范解答 平行关系的转化和应用 典例 条件分析 规范解答 取线段ab的中点n 连接mn dn 1分因为mn是 abe的中位线 所以mn be 2分又mn 平面bec be 平面bec 所以mn 平面bec 3分因为 abd是正三角形 n是线段ab的中点 所以nd ab 4分因为cb cd bcd 120 所以 cbd 30 5分 所以 abc 60 30 90 所以bc ab 6分所以nd bc 8分又nd 平面bec bc 平面bec 所以nd 平面bec 9分又mn nd n 所以平面mnd 平面bec 10分因为直线dm 平面mnd 所以dm 平面bec 12分 失分警示 防范措施 1 根据题目条件 恰当选取证明方法选择恰当的方法 巧妙将条件和结论联系起来是证明立体几何问题的关键 例如本题 证明线面平行 若考虑用线面平行的判定定理 则作辅助线的难度较大 而且容易出现取be的中点f 连接cf 证明dm cf的错误 2 重视平面几何知识的应用证明平行关系问题时 最终总要归结为平面内证明线线平行问题 因此要注意平面内证明线线平行的方法 如本例中 由nd ab bc ab证明nd bc 类题试解 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别是c1c c1b1 c1d1的中点 h是a1d上一点 求证 直线bh 平面mnp 证明 连接cb1 因为m n分别是c1c c1b1的中点 所以mn cb1 因为cd a1b1且cd a1b1 所以cda1b1是平行四边形 所以cb1 da1 所以mn da1 又mn 平面a1bd da1 平面a1bd 所以mn 平面a1bd 同理pn 平面a1bd 又pn mn n 所以平面a1bd 平面mnp 因为bh 平面a1bd 所以bh 平面mnp 1 平面 与圆台的上 下底面分别相交于直线m n 则m n的位置关系是 a 相交b 异面c 平行d 平行或异面 解析 选c 因为圆台的上 下底面互相平行 所以由平面与平面平行的性质定理可知m n 2 设平面 平面 a b c是ab的中点 当点a b分别在平面 内运动时 所有的动点c a 不共面b 当且仅当点a b分别在两条直线上移动时才共面c 当且仅当点a b分别在两条给定的异面直线上移动时才共面d 无论点a b如何移动都共面 解析 选d 无论a b怎样移动 所有动点c均落在与平面 平面 平行的平面内 3 如图给出的是长方体木料 想象沿图中平面所示位置截长方体 那么截面图形是下面四个图形的 解析 选a 长方体的相对表面互相平行 因此由面面平行的性质知截面图形是矩形 4 如图所示 平面四边形abcd所在的平面与平面 平行 且四边形abcd在平面 内的平行投影a1b1c1d1是一个平行四边形 则四边形abcd的形状一定是 解析 因为平面abcd 平面aa1