高考数学一轮复习 3.3三角函数的图象和性质课件 文 湘教版.ppt

3 3三角函数的图象和性质 f x t f x 提示 不是所有的周期函数都有最小正周期 周期函数f x c c为常数 就没有最小正周期 2 2014 济南调研 已知f x sin2x sinxcosx 则f x 的最小正周期和一个单调增区间分别为 a 0 b 2 c d 2 解析 由f x sin2x sinxcosx t 又由2k 2x 2k 可知k x k k z 为函数的单调递增区间 故选c 答案 c 求三角函数的定义域和值域 2 求三角函数的值域 最值 的一般方法 1 利用sinx cosx的值域 2 形式复杂的函数应化为y asin x k的形式逐步分析 x 的范围 根据正弦函数单调性写出y asin x 的值域 3 换元法 把sinx cosx看做一个整体 可化为二次函数 1 求下列函数的定义域 y lg sinx y y lgsin2x 2 求下列函数的值域 y 2sin2x 2cosx 2 y 3cosx sinx y sinx cosx sinxcosx 解析 1 要使函数有意义必须有sinx 0 cosx 0 即sinx 0 cosx 解得2k x 2k 2k x 2k k z 2k x 2k k z 函数的定义域为 方法一要使函数有意义 必须使sinx cosx 0 利用图象 在同一坐标系中画出 0 2 上y sinx和y cosx的图象 如图所示 在 0 2 内 满足sinx cosx的x为 再结合正弦 余弦函数的周期是2 所以原函数的定义域为 方法二利用三角函数线 画出满足条件的终边范围 如图阴影部分所示 定义域为 方法三sinx cosx 0 将x 视为一个整体 由正弦函数y sinx的图象和性质可知2k x 2k k z 解得所以定义域为 由sin2x 0 9 x2 0 得2k 2x 2k k z 3 x 3 3 x 或0 x 函数y lgsin2x 的定义域为 2 y 2sin2x 2cosx 2 2cos2x 2cosx 2当cosx 1时 ymax 4 当cosx 时 ymin 故函数值域为 y 3cosx sinx x y 3 故函数值域为 3 令t sinx cosx 则sinxcosx 且 t y t t 1 2 1 当t 1时 ymin 1 当t 时 ymax 函数值域为 研究三角函数的奇偶性和周期性 1 三角函数的奇偶性在定义域关于原点对称时 正弦函数与正切函数是奇函数 余弦函数是偶函数 但一旦限定了它们的定义域后 当给出的定义区间不再关于原点对称时 它们也就成了非奇非偶函数 因此对三角函数奇偶性的研究一定要结合所给的定义域考虑 2 三角函数的周期性正弦函数与余弦函数的最小正周期都是2 而正切函数的最小正周期是 当自变量前面的系数发生变化时 这一结论也随之发生变化 一般地 当a b 都为常数 且a 0时 函数y asin x b和y acos x b的最小正周期是 而y atan x b的最小正周期是 求下列函数的最小正周期 并判断它们的奇偶性 1 f x cosxsinx sin2x 2 f x asin x cos x 2 a r 解析 1 sin2x 2sinxcosx cos2x 1 2sin2x f x cosxsinx sin2x 即f x sin2x cos2x sin2x cos cos2x sin f x sin 这一函数是非奇非偶函数 它的最小正周期t 2 asin x cos x sin x 其中cos sin f x asin x cos x 2 a2 1 sin2 x 当a 0时 函数f x cos2 x 此时的最小正周期t 且当 k z 时 函数为偶函数 当 k z 时 函数为奇函数 当a 0时 函数f x a2 1 显然它的最小正周期还是t 且当2 2 k k z 即 k z 时 函数为偶函数 f x 0且不恒为0 f x 不可能为奇函数 三角函数的单调性 1 求下列函数的单调递减区间 y 2sin y tan 解析 1 由2k x 2k k z 得2k x 2k k z 故函数y 2sin的单调减区间为 k z 把函数y tan变为y tan由k 2x k k z 得即故函数的单调减区间为 2 1 求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象 2 判断函数奇偶性 应先判定函数定义域的对称性 注意偶函数的和 差 积 商仍为偶函数 复合函数在复合过程中 对每个函数而言 一偶则偶 同奇则奇 3 三角函数单调区间的确定 一般先将函数式化为基本三角函数标准式 然后通过同解变形或利用数形结合方法求解 对复合函数单调区间的确定 应明确是对复合过程中的每一个函数而言 同增同减则为增 一增一减则为减 即同增异减 4 用三角函数的单调性比较两角函数值的大小 必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内 不属于的 可先化至同一单调区间内 再比较其大小 5 求三角函数式的最小正周期时 要尽可能地化为只含一个三角函数的式子 否则很容易出现错误 一般地 经过恒等变形化成 y asin x y acos x y atan x 的形式 再利用周期公式即可 从近两年的高考试题来看 三角函数的周期性 单调性 最值等是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度属中低档 常与三角恒等变换交汇命题 在考查三角函数性质的同时 又考查三角恒等变换的方法与技巧 注重考查函数方程 转化化归等思想方法 12 26 2019 阅后报告 求解三角函数的最值 或值域 时一定要注意自变量的取值范围 由于三角函数的周期性 正弦函数 余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得 因此要把这两个最值点弄清楚 1 2014 辽宁卷 将函数y 3sin的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数 a 在区间上单调递减b 在区间上单调递增c 在区间上单调递减d 在区间上