高中数学 4.1.2 圆的一般方程配套课件 新人教A版必修2.ppt

4 1 2圆的一般方程 学习目标 1 会判断一个二元二次方程是不是圆的一般方程 2 正确理解圆的一般方程及其特点 3 会用待定系数法求圆的一般方程 4 能进行圆的一般方程与标准方程的互化 圆的一般方程 d2 e2 4f 0 d2 e2 4f 0 d2 e2 4f 0 练习 圆x2 y2 4x 6y 0的圆心为 半径为 2 3 问题探究 方程x2 y2 2x 4y 5 0表示圆吗 提示 不表示圆 方程可化为 x 1 2 y 2 2 0 故不表示圆 而表示点 1 2 题型1将圆的一般方程化为标准方程 例1 将圆的一般方程x2 y2 4x 0化为标准方程 并写出圆心坐标和半径 思维突破 把圆的一般方程化为标准方程时常采用配方法 解 x2 y2 4x 0配方后为 x 2 2 y2 4 所以圆心为 2 0 半径r 2 变式与拓展 1 将圆的方程x2 y2 2ay 1 0化为标准方程并写出圆心 坐标和半径 题型2求圆的方程 例2 已知圆经过a 2 3 和b 2 5 若圆心在 直线x 2y 3 0上 求圆的方程 思维突破 由题设三个条件 可利用待定系数法求方程 如利用弦的中垂线过圆心 也可先确定圆心 再求圆的半径 圆的方程为 x 1 2 y 2 2 10 方法三 线段ab的中垂线方程为2x y 4 0 它与直线x 2y 3 0的交点 1 2 即为圆心 由两点间距离公式 得r2 10 圆的方程为 x 1 2 y 2 2 10 确定圆的方程需要三个独立条件 选标准 定参数 是解题的基本方法 变式与拓展 2 求过点a 2 2 b 5 3 c 3 1 的圆的方程 题型3求与圆有关的动点轨迹方程 例3 等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个端点是b 3 5 求另一个端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 解 设另一端点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 由两点间距离公式 整理 得 x 4 2 y 2 2 10 又因为a b c为三角形的三个顶点 所以a b c三点不共线 即点b c不能重合且b c不能为圆a的直径的两个端点 因为点b c不能重合 所以点c不能为 3 5 又因为点b c不能为圆a的直径的两个端点 故端点c的轨迹方程是 x 4 2 y 2 2 10 除去点 3 5 和 5 1 和 5 1 两点 图4 1 1 1 求曲线的轨迹方程的注意事项 根据题目的条件 选用适当的求轨迹的方法 要看准是求轨迹还是求轨迹方程 轨迹是轨迹方程所表 达的曲线 图形 验证轨迹上是否有应去掉或漏掉的点 2 求与圆有关的轨迹问题常用的方法 直接法 根据题目的条件 建立适当的平面直角坐标系 设出动点坐标 并找出动点坐标所满足的关系式 定义法 当列出的关系式符合圆的定义时 可利用定义 写出动点的轨迹方程 相关点法 若动点p x y 随着圆上另一动点q x1 y1 的运动而运动 且x1 y1可用x y表示 则可将q点的坐标代入已知圆的方程 即得动点p的轨迹方程 变式与拓展 3 已知定点a 4 0 点p是圆x2 y2 4上一动点 点q是ap的中点 求点q的轨迹方程 解 设点q的坐标为 x y 点p的坐标为 x y 则 又点p在圆x2 y2 4上 x 2 y 2 4 将x 2x 4 y 2y代入得 2x 4 2 2y 2 4 即 x 2 2 y2 1 故所求的轨迹方程为 x 2 2 y2 1 例4 当m为何值时 关于x y的方程 2m2 m 1 x2 m2 m 2 y2 m 2 0表示一个圆 易错分析 对二元二次方程表示圆的条件理解不全面 a b是ax2 by2 f 0表示圆的必要条件 而非充要条件 其充要 综上所述 m 3即为所求 解 方程表示一个圆 故2m2 m 1 m2 m 2 即m2 2m 3 0 故m 1或m 3 当m 1时 原方程可化为2x2 2y2 3 不合题意 方法 规律 小结 1 如果已知条件中圆心的位置