高考数学一轮复习 8.1空间几何体的结构课件.ppt

课标版理数 8 1空间几何体的结构 1 棱柱的结构特征 1 棱柱的主要结构特征 有 两个面互相平行 其余各面都是 四边形 并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行 棱柱的两个 互相平行的面叫棱柱的底面 其余各面叫棱柱的侧面 两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱 棱柱的高指两底面之间的距离 即从一底面上任一点向另一底面作垂线 这点与垂足 垂线与底面的交点 之间的距离 2 棱柱的分类 按侧棱与底面的关系可分为 斜棱柱 直棱柱 按底面多边形边数可分为三棱柱 四棱柱 五棱柱等 底面是正多边形的 直棱柱又称为正棱柱 2 棱锥的结构特征 1 棱锥的定义 有一个面是多边形 其余各面都是有一个 公共顶点的三角形 这些面围成的几何体叫做棱锥 2 正棱锥的定义 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面内的 射影是底面中心 那么这样的棱锥叫做正棱锥 3 正棱锥的性质 i 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高相等 它叫做正棱锥的斜高 ii 棱锥的高 斜高和斜足与底面中心连线组成一个基础直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 3 圆柱 圆锥 圆台的结构特征分别以矩形一边 直角三角形一直角边 直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴 其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱 圆锥 圆台 其中旋转轴叫做所围成的几何体的轴 在轴上的这条边叫做这个几何体的高 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面 这条边叫做该几何体的母线 4 棱台 圆台的概念用平行于底面的平面去截棱锥 圆锥 截面与底面间的部分分别是棱台 圆台 5 球一个 半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面 球面所围成的几何体叫做球 形成球的半圆的圆心叫做球心 连结球面上一点和球心的线段叫球的半径 连结球面上两点且通过球心的线段叫球的直径 6 柱 锥 球 台的侧面积和表面积 7 柱体 锥体 台体 球的体积公式 1 下列结论正确的是 a 各个面都是三角形的几何体是三棱锥b 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥c 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 则此棱锥可能是六棱锥d 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案da错误 如图 1 由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体 各面都是三角形 但它不是三棱锥 图 1 图 2 图 3 b错误 如图 2 3 若 abc不是直角三角形或是直角三角形 但旋转轴不是直角边所在直线 所得的几何体都不是圆锥 c错误 若六棱锥的所有棱长都相等 则底面多边形是正六边形 由几何图形知 若以正六边形为底面 则侧棱长必然要大于底面边长 d正确 2 侧面都是直角三角形的正三棱锥 底面边长为a时 该三棱锥的全面积是 a a2b a2c a2d a2答案a由于该正三棱锥的侧面都是直角三角形 所以直角顶点应该就是棱锥的顶点 即棱锥的三条侧棱两两垂直 由于底面边长为a 所以侧棱长等于a 故该三棱锥的全面积s a2 3 a2 故选a 3 如图 已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成 则该多面体的体积是 答案解析由题意知该多面体为正四棱锥 如图 正四棱锥的高h v sh 4 已知球与棱长均为2的三棱锥的各条棱都相切 则该球的表面积为 答案2 解析将该三棱锥放入正方体内 使三棱锥的各棱恰在正方体的面对角线位置上 球与三棱锥各棱均相切 则球与正方体各面均相切 所以2r r 则球的表面积为s 4 r2 4 2 5 如果三棱锥的三个侧面两两垂直 它们的面积分别为6cm2 4cm2 3cm2 那么它的外接球体积是 答案 cm3解析依题意 设这个三棱锥的侧棱长分别为a b c b a c 则有ab 12cm2 bc 8cm2 ac 6cm2 解得a 3cm b 4cm c 2cm 这个三棱锥的外接球就是以三棱锥的三条侧棱为长 宽 高的长方体的外接球 所以外接球的半径为cm 体积为 cm3 典例1 2014大纲全国 8 5分 正四棱锥的顶点都在同一球面上 若该棱锥的高为4 底面边长为2 则该球的表面积为 a b 16 c 9 d 答案a解析设球的半径为r 由题意可得 4 r 2 2 r2 解得r 所以该球的表面积为4 r2 故选a 空间几何体的表面积 几何体表面积的求解方法 1 表面积是各个面的面积之和 求多面体的表面积时 只需将它们沿着棱剪开后展成平面图形 可利用求平面图形的面积的方法求多面体的表面积 求 旋转体的表面积时 可从旋转体的生成过程及其几何特征入手 将其展开 求表面积 但要搞清它们的底面半径 母线长与对应侧面展开图中的边长关系 2 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱 锥 台体 先求出这些基本的柱 锥 台体的表面积 再通过求和或作差 从而获得几何体的表面积 1 1一张长 宽分别为8cm和4cm的矩形纸板 将其卷成一个圆柱体的侧面 求这个圆柱体的全面积 解析分两种情形考虑 设底面半径为rcm 2 r 8时 s底 r2 cm2 s全 2s底 s侧 2 4 8 32 cm2 2 r 4时 s底 r2 cm2 s全 2s底 s侧 32 cm2 1 2一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上 如果正四棱柱的底面边长为1cm 求该棱柱的表面积 解析设正四棱柱高为a 则4 1 1 a2 则a cm 正四棱柱的表面积s 1 1 2 4 1 2 4 cm2 典例2 1 2014课标 6 5分 如图 网格纸上正方形小格的边长为1 表示1cm 图中粗线画出的是某零件的三视图 该零件由一个底面半径为3cm 高为6cm的圆柱体毛坯切削得到 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 a b c d 空间几何体的体积 2 2013课标全国 6 5 如图 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器 容器高8cm 将一个球放在容器口 再向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的厚度 则球的体积为 a cm3b cm3c cm3d cm3答案 1 c 2 a解析 1 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体 一个圆柱的底面半径 为2cm 高为4cm 另一个圆柱的底面半径为3cm 高为2cm 则零件的体积v1 22 4 32 2 34 cm3 而毛坯的体积v 32 6 54 cm3 因此切削掉部分的体积v2 v v1 54 34 20 cm3 所以 故选c 2 设球心为o 正方体上底面中心为a 上底面一边的中点为b 在rt oab中 oa r 2 cm ab 4 cm ob r cm 由r2 r 2 2 42得r 5 v球 r3 cm3 故选a 求体积的几种方法 1 分割求和法 把不规则的图形分割成规则图形 然后进行体积计算 2 补形法 把不规则形体补成规则形体 不熟悉形体补成熟悉形体 便于计 算其体积 3 等体积法 选择合适的底面来求图形体积的方法 常用于三棱锥 2 1一个倒圆锥形容器 它的轴截面是正三角形 在容器内放一个半径为r的铁球 并向容器内注水 使水面没过铁球并恰好与铁球面相切 将球取出后 容器内的水深是多少 解析如图 作轴截面 设球未取出时 水面高pc h 球取出后 水面高ph x 根据题设条件可得ac r pc 3r 则以ab为底面直径的圆锥体积为v圆锥 ac2 pc r 2 3r 3 r3 又v球 r3 球取出后 水面下降到ef 水的体积为v水 eh2 ph phtan30 2ph x3 v水 v圆锥 v球 则 x3 3 r3 r3 解得x r 故球取出后 容器内水深为r 典例3 1 2014首师大大兴附中检测 如图所示 长方体abcd a1b1c1d1中 ab a bc b cc1 c 并且a b c 0 求沿着长方体的表面自a到c1的最短线路的长 2 2014山东烟台检测 如图所示 在边长为4的正方形纸片abcd中 ac与bd相交于o 剪去 aob 将剩余部分沿oc od折叠 使oa ob重合 求以a b c d o为顶点的四面体的体积 展开与折叠问题 解析 1 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能 如图所示 图甲 乙 丙中ac1的长分别为 a b c 0 ab ac bc 0 故最短线路的长为 2 折叠后的四面体如图所示 oa oc od两两相互垂直 且oa oc od 2 体积v s ocd oa 2 3 1 求多面体表面上两点间的最短距离问题 是立体几何中的一个重要题型 解题的基本步骤是把多面体展开成平面图形 找出表示最短距离的线段 再计算出线段的长 2 有关折叠问题 一定要分清折叠前后两图形 折叠前的平面图形和折叠 后的空间图形 各元素间的位置和数量关系 哪些变 哪些不变 3 1如图 在直棱柱abc a b c 中 底面是边长为3的等边三角形 aa 4 m为aa 的中点 p是