高考数学大一轮复习 9.2两直线的位置关系课件 理 苏教版.ppt

9 2两直线的位置关系 数学苏 理 第九章平面解析几何 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 两条直线的位置关系 1 两条直线平行与垂直 两条直线平行 对于两条不重合的直线l1 l2 若其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 当直线l1 l2不重合且斜率都不存在时 l1 l2 k1 k2 两条直线垂直 如果两条直线l1 l2的斜率存在 设为k1 k2 则有l1 l2 当其中一条直线的斜率不存在 而另一条的斜率为0时 l1 l2 k1 k2 1 2 两条直线的交点直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 2 几种距离 1 两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 之间的距离p1p2 2 点p0 x0 y0 到直线l ax by c 0的距离d 3 两条平行线ax by c1 0与ax by c2 0 其中c1 c2 间的距离d 知识拓展 1 一般地 与直线ax by c 0平行的直线方程可设为ax by m 0 与之垂直的直线方程可设为bx ay n 0 2 过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 但不包括l2 3 点到直线与两平行线间的距离的使用条件 1 求点到直线的距离时 应先化直线方程为一般式 2 求两平行线之间的距离时 应先将方程化为一般式且x y的系数对应相等 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 当直线l1和l2斜率都存在时 一定有k1 k2 l1 l2 2 如果两条直线l1与l2垂直 则它们的斜率之积一定等于 1 3 已知直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 a1 b1 c1 a2 b2 c2为常数 若直线l1 l2 则a1a2 b1b2 0 5 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 7 x y 1 0或x y 3 0 1 解析 例1已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 思维点拨 解析 思维升华 题型一两条直线的平行与垂直 例1已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 题型一两条直线的平行与垂直 本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件 解题易错点在于忽略斜率不存在的情况 思维点拨 解析 思维升华 例1已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 题型一两条直线的平行与垂直 解方法一由已知可得l2的斜率存在 k2 1 a 若k2 0 则1 a 0 a 1 l1 l2 直线l1的斜率k1必不存在 即b 0 此种情况不存在 k2 0 思维点拨 解析 思维升华 例1已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 题型一两条直线的平行与垂直 又 l1过点 3 1 3a b 4 0 由 联立 解得a 2 b 2 方法二 l1 l2 a a 1 b 1 0 即b a2 a 又 l1过点 3 1 思维点拨 解析 思维升华 例1已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 题型一两条直线的平行与垂直 3a b 4 0 经验证 符合题意 故a 2 b 2 思维点拨 解析 思维升华 例1已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 题型一两条直线的平行与垂直 1 当直线方程中存在字母参数时 不仅要考虑到斜率存在的一般情况 也要考虑到斜率不存在的特殊情况 同时还要注意x y的系数不能同时为零这一隐含条件 思维点拨 解析 思维升华 例1已知两条直线l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求满足下列条件的a b的值 1 l1 l2 且l1过点 3 1 题型一两条直线的平行与垂直 2 在判断两直线平行 垂直时 也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 思维点拨 解析 思维升华 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件 解题易错点在于忽略斜率不存在的情况 例1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 解 l2的斜率存在 l1 l2 直线l1的斜率存在 又 坐标原点到这两条直线的距离相等 且l1 l2 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 1 当直线方程中存在字母参数时 不仅要考虑到斜率存在的一般情况 也要考虑到斜率不存在的特殊情况 同时还要注意x y的系数不能同时为零这一隐含条件 思维点拨 解析 思维升华 例1 2 l1 l2 且坐标原点到这两条直线的距离相等 2 在判断两直线平行 垂直时 也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练1已知两直线l1 x ysin 1 0和l2 2x sin y 1 0 求 的值 使得 1 l1 l2 解方法一当sin 0时 直线l1的斜率不存在 l2的斜率为0 显然l1不平行于l2 方法二由a1b2 a2b1 0 得2sin2 1 0 又b1c2 b2c1 0 所以1 sin 0 即sin 1 2 l1 l2 解因为a1a2 b1b2 0是l1 l2的充要条件 所以2sin sin 0 即sin 0 所以 k k z 故当 k k z时 l1 l2 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 思维点拨 解析 思维升华 题型二两直线相交 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型二两直线相交 可先求出l1与l2的交点 再用点斜式 也可利用直线系方程求解 思维点拨 解析 思维升华 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型二两直线相交 得l1 l2的交点坐标为 1 2 于是由直线的点斜式方程求出l 思维点拨 解析 思维升华 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型二两直线相交 方法二由于l l3 故l是直线系5x 3y c 0中的一条 而l过l1 l2的交点 1 2 故5 1 3 2 c 0 由此求出c 1 故l的方程为5x 3y 1 0 方法三由于l过l1 l2的交点 故l是直线系3x 2y 1 5x 2y 1 0中的一条 将其整理 得 3 5 x 2 2 y 1 0 思维点拨 解析 思维升华 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型二两直线相交 代入直线系方程得l的方程为5x 3y 1 0 思维点拨 解析 思维升华 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型二两直线相交 1 两直线交点的求法求两直线的交点坐标 就是解由两直线方程组成的方程组 以方程组的解为坐标的点即为交点 2 常见的三大直线系方程 思维点拨 解析 思维升华 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型二两直线相交 与直线ax by c 0平行的直线系方程是ax by m 0 m r且m c 与直线ax by c 0垂直的直线系方程是bx ay m 0 m r 思维点拨 解析 思维升华 例2求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 题型二两直线相交 过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 但不包括l2 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练2如图 设一直线过点 1 1 它被两平行直线l1 x 2y 1 0 l2 x 2y 3 0所截的线段的中点在直线l3 x y 1 0上 求其方程 解与l1 l2平行且距离相等的直线方程为x 2y 2 0 设所求直线方程为 x 2y 2 x y 1 0 即 1 x 2 y 2 0 又直线过 1 1 跟踪训练2如图 设一直线过点 1 1 它被两平行直线l1 x 2y 1 0 l2 x 2y 3 0所截的线段的中点在直线l3 x y 1 0上 求其方程 1 1 2 1 2 0 例3正方形的中心为点c 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三边所在直线的方程 思维点拨 解析 思维升华 题型三距离公式的应用 例3正方形的中心为点c 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三边所在直线的方程 题型三距离公式的应用 中心c到各边的距离相等 思维点拨 解析 思维升华 例3正方形的中心为点c 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三边所在直线的方程 题型三距离公式的应用 设与x 3y 5 0平行的一边所在直线的方程是x 3y m 0 m 5 解得m 5 舍去 或m 7 思维点拨 解析 思维升华 例3正方形的中心为点c 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三边所在直线的方程 题型三距离公式的应用 所以与x 3y 5 0平行的边所在直线的方程是x 3y 7 0 设与x 3y 5 0垂直的边所在直线的方程是3x y n 0 解得n 3或n 9 所以与x 3y 5 0垂直的两边所在直线的方程分别是3x y 3 0和3x y 9 0 思维点拨 解析 思维升华 例3正方形的中心为点c 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三边所在直线的方程 题型三距离公式的应用 正方形的四条边两两平行和垂直 设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决 解题时要结合图形进行有效取舍 本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程 思维点拨 解析 思维升华 例3正方形的中心为点c 1 0 一条边所在的直线方程是x 3y 5 0 求其他三边所在直线的方程 题型三距离公式的应用 运用点到直线的距离公式时 需把直线方程化为一般式 运用两平行线的距离公式时 需先把两平行线方程中x y的系数化为相同的形式 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练3已知点p 2 1 1 求过p点且与原点距离为2的直线l的方程 解过p点的直线l与原点距离为2 而p点坐标为 2 1 可见 过p 2 1 垂直于x轴的直线满足条件 此时l的斜率不存在 其方程为x 2 若斜率存在 设l的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 此时l的方程为3x 4y 10 0 综上 可得直线l的方程为x 2或3x 4y 10 0 2 求过p点且与原点距离最大的直线l的方程 并求出最大距离 解作图可证过p点与原点o距离最大的直线是过p点且与po垂直的直线 由l op 得klkop 1 由直线方程的点斜式得y 1 2 x 2 2 求过p点且与原点距离最大的直线l的方程 并求出最大距离 即2x y 5 0 即直线2x y 5 0是过p点且与原点o距离最大的直线 3 是否存在过p点且与原点距离为6的直线 若存在 求出方程 若不存在 请说明理由 因此不存在过p点且与原点距离为6的直线 例4已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 思维点拨 解析 思维升华 题型四对称问题 例4已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 题型四对称问题 解决对称问题 不管是轴对称还是中心对称 一般都要转化为点之间的对称问题 思维点拨 解析 思维升华 例4已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 题型四对称问题 解设a x y 思维点拨 解析 思维升华 例4已知直线l 2x 3y 1 0 点a 1 2 求 1 点a关于直线l的对称点a 的坐标 题型四对称问题 解决点关于直线对称问题要把握两点 点m与点n关于直线l对称 则线段mn的中点在直线l上 直线l与直线mn垂直 思维点拨 解析 思维升华 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 思维点拨 解析 思维升华 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 解决对称问题 不管是轴对称还是中心对称 一般都要转化为点之间的对称问题 思维点拨 解析 思维升华 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 解在直线m上取一点 如m 2 0 则m 2 0 关于直线l的对称点必在m 上 设对称点为m a b 则 思维点拨 解析 思维升华 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 又 m 经过点n 4 3 由两点式得直线方程为9x 46y 102 0 思维点拨 解析 思维升华 2 直线m 3x 2y 6 0关于直线l的对称直线m 的方程 2 如果是直线或点关于点成中心对称问题 则只需运用中点公式就可解决问题 3 若直线l1 l2关于直线l对称 则有如下性质 若直线l1与l2相交 则交点在直线l上 若点b在直线l1上 则其关于直线l的对称点b 在直线l2上 思维点拨 解析 思维升华 3 直线l关于点a 1 2 对称的直线l 的方程 思维点拨 解析 思维升华 3 直线l关于点a 1 2 对称的直线l 的方程 解决对称问题 不管是轴对称还是中心对称 一般都要转化为点之间的对称问题 思维点拨 解析 思维升华 3 直线l关于点a 1 2 对称的直线l 的方程 解设p x y 为l 上任意一点 则p x y 关于点a 1 2 的对称点为p 2 x 4 y p 在直线l上 2 2 x 3 4 y 1 0 即2x 3y 9 0 思维点拨 解析 思维升华 3 直线l关于点a 1 2 对称的直线l 的方程 思维点拨 解析 思维升华 2 如果是直线或点关于点成中心对称问题 则只需运用中点公式就可解决问题 3 若直线l1 l2关于直线l对称 则有如下性质 若直线l1与l2相交 则交点在直线l上 若点b在直线l1上 则其关于直线l的对称点b 在直线l2上 跟踪训练4 2013 湖南改编 在等腰直角三角形abc中 ab ac 4 点p是边ab上异于a b的一点 光线从点p出发 经bc ca发射后又回到原点p 如图 若光线qr经过 abc的重心 则ap 解析建立如图所示的坐标系 可得b 4 0 c 0 4 故直线bc的方程为x y 4 设p a 0 其中0 a 4 则点p关于直线bc的对称点p1 x y 易得p关于y轴的对称点p2 a 0 由光的反射原理可知p1 q r p2四点共线 代入化简可得3a2 4a 0 一 平行直线系由于两直线平行 它们的斜率相等或它们的斜率都不存在 因此两直线平行时 它们的一次项系数与常数项有必然的联系 思想与方法系列15妙用直线系求直线方程 典例1 求与直线3x 4y 1 0平行且过点 1 2 的直线l的方程 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例1 求与直线3x 4y 1 0平行且过点 1 2 的直线l的方程 因为所求直线与3x 4y 1 0平行 因此 可设该直线方程为3x 4y c 0 c 1 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例1 求与直线3x 4y 1 0平行且过点 1 2 的直线l的方程 解依题意 设所求直线方程为3x 4y c 0 c 1 又因为直线过点 1 2 所以3 1 4 2 c 0 解得c 11 因此 所求直线方程为3x 4y 11 0 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例1 求与直线3x 4y 1 0平行且过点 1 2 的直线l的方程 与直线ax by c 0平行的直线系方程为ax by c1 0 c1 c 再由其他条件求c1 思维点拨 规范解答 温馨提醒 二 垂直直线系由于直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0垂直的充要条件为a1a2 b1b2 0 因此 当两直线垂直时 它们的一次项系数有必要的关系 可以考虑用直线系方程求解 典例2 求经过a 2 1 且与直线2x y 10 0垂直的直线l的方程 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例2 求经过a 2 1 且与直线2x y 10 0垂直的直线l的方程 依据两直线垂直的特征设出方程 再由待定系数法求解 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例2 求经过a 2 1 且与直线2x y 10 0垂直的直线l的方程 解因为所求直线与直线2x y 10 0垂直 所以设该直线方程为x 2y c1 0 又直线过点 2 1 所以有2 2 1 c1 0 解得c1 0 即所求直线方程为x 2y 0 思维点拨 规范解答 温馨提醒 典例2 求经过a 2 1 且与直线2x y 10 0垂直的直线l的方程 与直线ax by c 0垂直的直线系方程为bx ay c1 0 再由其他条件求出c1 思维点拨 规范解答 温馨提醒 三 过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 思维点拨 规范解答 温馨提醒 三 过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k 直接写出方程 也可以利用过交点的直线系方程设直线方程 再用待定系数法求解 思维点拨 规范解答 温馨提醒 三 过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 思维点拨 规范解答 温馨提醒 三 过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 即4x 3y 6 0 方法二设直线l的方程为x 2y 4 x y 2 0 即 1 x 2 y 4 2 0 思维点拨 规范解答 温馨提醒 三 过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 又 l l3 3 1 4 2 0 解得 11 直线l的方程为4x 3y 6 0 思维点拨 规范解答 温馨提醒 三 过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 本题方法一采用常规方法 先通过方程组求出两直线交点 再根据垂直关系求出斜率 由于交点在y轴上 故采用斜截式求解 方法二则采用了过两直线a1x b1y c1 0与a2x 思维点拨 规范解答 温馨提醒 三 过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交点p 且与直线l3 3x 4y 5 0垂直的直线l的方程 b2y c2 0的交点的直线系方程 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 直接设出过两直线交点的方程 再根据垂直条件用待定系数法求解 思维点拨 规范解答 温馨提醒 方法与技巧 1 两直线的位置关系要考虑平行 垂直和重合 对于斜率都存在且不重合的两条直线l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一条直线的斜率不存在 那么另一条直线的斜率一定要特别注意 2 对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称 利用坐标转移法 失误与防范 1 在判断两条直线的位置关系时 首先应分析直线的斜率是否存在 若两条直线都有斜率 可根据判定定理判断 若直线无斜率 要单独考虑 1 已知两条直线l1 x y 1 0 l2 3x ay 2 0且l1 l2 则a 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由l1 l2 可得1 3 1 a 0 a 3 3 2 从点 2 3 射出的光线沿与向量a 8 4 平行的直线射到y轴上 则反射光线所在的直线方程为 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 解析由直线与向量a 8 4 平行知 3 4 5 6 7 8 9 1 10 2 又点 2 3 关于y轴的对称点为 2 3 所以反射光线过点 2 3 与 0 2 由两点式得所求方程为x 2y 4 0 答案x 2y 4 0 3 教材改编 若a 3 4 b 6 3 两点到直线l ax y 1 0的距离相等 则a 2 4 5 6 7 8 9 1 10 3 4 已知直线3x 4y 3 0与直线6x my 14 0平行 则它们之间的距离是 2 3 5 6 7 8 9 1 10 4 2 5 如图 已知a 4 0 b 0 4 从点p 2 0 射出的光线经直线ab反射后再射到直线ob上 最后经直线ob反射后又回到p点 则光线所经过的路程是 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 解析由题意知点p关于直线ab的对称点为d 4 2 关于y轴的对称点为c 2 0 2 3 4 6 7 8 9 1 10 5 6 与直线l1 3x 2y 6 0和直线l2 6x 4y 3 0等距离的直线方程是 2 3 4 5 7 8 9 1 10 6 设与l1 l2等距离的直线l的方程为3x 2y c 0 所以l1与l2平行 所以l的方程为12x 8y 15 0 12x 8y 15 0 7 已知点a 1 1 b 2 2 若直线l x my m 0与线段ab相交 包含端点的情况 则实数m的取值范围是 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 解析直线l x my m 0可化为x m y 1 0 所以直线恒过定点p 0 1 直线l x my m 0与线段ab相交 包含端点的情况 2 3 4 5 6 8 9 1 10 7 8 将一张坐标纸折叠一次 使得点 0 2 与点 4 0 重合 点 7 3 与点 m n 重合 则m n 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 解析由题意可知纸的折痕应是点 0 2 与点 4 0 连线的中垂线 即直线y 2x 3 它也是点 7 3 与点 m n 连线的中垂线 2 3 4 5 6 7 9 1 10 8 9 若直线l过点a 1 1 与已知直线l1 2x y 6 0相交于b点 且ab 5 求直线l的方程 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 解过点a 1 1 与y轴平行的直线为x 1 求得b点坐标为 1 4 此时ab 5 即x 1为所求 设过a 1 1 且与y轴不平行的直线为y 1 k x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 k 2 否则与已知直线平行 2 3 4 5 6 7 8 1 10 9 即3x 4y 1 0 综上可知 所求直线的方程为x 1或3x 4y 1 0 10 已知 abc的顶点a 5 1 ab边上的中线cm所在直线方程为2x y 5 0 ac边上的高bh