高中数学 2.3 数学归纳法配套教学课件1 苏教版选修22.ppt

2 3数学归纳法 高中数学选修 2 问题情境 结论是错误的 12 1 41 4322 2 41 4732 3 41 5342 4 41 6152 5 41 71 都是质数 于是可以用归纳推理提出猜想任何形如n2 n 41 n n 的数都是质数 因为n 41时 n2 n 41 412 41 41 41 43是一个合数 思考 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球 接着 如果我们有这样一个保证 当你这一次摸出的是白球 则下一次摸出的一定也是白球 能判断这个袋子里装的全是白球吗 能判断 什么是数学归纳法 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 1 先证明当n取第一个值n0时命题成立 2 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 这种证明方法就叫做 数学归纳法 验证n n0时命题成立 若n k k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立 归纳奠基 归纳推理 命题对从n0开始所有的正整数n都成立 1 第一步 是否可省略 不可以省略 2 第二步 从n k k n0 时命题成立的假设出发 推证n k 1时命题也成立 既然是假设 为什么还要把它当成条件呢 这一步是在第一步的正确性的基础上 证明传递性 反例 想一想 例 已知数列 an 为等差数列 公差为d 求证 通项公式为an a1 n 1 d 2 当n k时 结论成立 ak a1 k 1 d 那么 ak 1 ak d ak 1 a1 k 1 d d a1 kd a1 k 1 1 d所以n k 1时 结论也成立 综合 1 2 知an a1 n 1 d 证明 1 当n 1时 a1 a1 1 1 d a1 结论成立 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 12 1等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是1 3 5 2k 1 k2 那么 例2用数学归纳法证明 当n n 1 3 5 2n 1 n2 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 例2用数学归纳法证明n n 12 22 32 n2 1 第一步应做什么 此时n0 左 2 假设n k时命题成立 即 当n k时 等式左边共有项 第k项是 k k2 思考 1 12 12 22 32 k2 3 当n k 1时 命题的形式是 4 此时 左边增加的项是 5 从左到右如何变形 k 1 2 12 22 32 k2 k 1 2 例3用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 12 1 右边 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 如下证明对吗 证明 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 设n k时 有 即n k 1时 命题成立 根据 问可知 对n n 等式成立 第二步证明中没有用到假设 这不是数学归纳法证明 三 巩固练习 1 用数学归纳法证明 在验证n 1成立时 左边计算所得的结果是 2 已知 则等于 3 用数学归纳法证明 1 2