度高中数学 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）同步辅导与检测课件 新人教A版必修4.ppt

三角函数 1 4三角函数的图象与性质1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 二 1 理解正弦函数 余弦函数的性质 奇偶性和单调性 2 利用正弦函数 余弦函数的图象确定相应的奇偶性和单调性 3 利用正弦函数 余弦函数的单调性与函数有关的单调区间 基础梳理 一 正弦函数和余弦函数的单调性正弦函数和余弦函数都是周期函数 而对于周期函数 只要弄清楚它在一个周期内所具有的性质 便可以推知它在整个定义域内所具有的性质 对于正弦函数 结合图象知函数在区间 上单调递增 在区间 上单调递减 根据函数的周期性 我们推知 正弦函数在每个闭区间 上都是 其函数值从 1增加到 1 在每个闭区间 上都是 其函数值从 1减小到 1 同样 余弦函数在每个闭区间 2k 2k k z 上都是 其函数值从 1增加到 1 在每个闭区间 2k 2k k z 上都是 其函数值从 1减小到 1 k z 增函数 k z 减函数增函数减函数 思考应用 1 正弦函数 余弦函数是单调函数吗 能否说 正弦函数在第一象限是增函数 解析 正弦函数 余弦函数都不是定义域上的单调函数 正弦函数在第一象限是增函数 也是错误的 因为在第一象限 即使是终边相同的角 它们也可以相差2 的整数倍 二 正弦函数和余弦函数的奇偶性根据诱导公式sin x sinx cos x cosx 可知 函数是 函数 函数是 函数 从正弦函数y sinx的图象和余弦函数y cosx的图象上也可以看出 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 二 正弦奇余弦偶 思考应用 2 从正 余弦函数的奇偶性可知正弦函数y sinx的图象关于原点对称 余弦函数y cosx的图象关于y轴对称 正 余弦函数的图象还有其它对称轴和对称中心吗 解析 利用正 余弦函数的周期性和图象可以得出 正弦曲线y sinx既是中心对称图形 又是轴对称图形 其对称中心坐标是 k 0 k z 对称轴方程是x k k z 同理 余弦曲线y cosx既是中心对称图形 又是轴对称图形 其对称中心坐标是 k z 对称轴方程是x k k z 自测自评 1 下列命题正确的是 a y 2sinx为偶函数b y 3cosx 1为偶函数c y sinx 1是奇函数d y sinx 既不是奇函数也不是偶函数 b 解析 由y sinx x 0 2 与y cosx x 0 2 的图象知 y sinx和y cosx的均为减函数的一个区间是 故选b 答案 b c 三角函数的单调性 1 求函数y 2sin的单调增区间 2 函数y cos的单调递增区间是 分析 本题考查复合函数的单调性问题 点评 1 求y asin x 的单调区间 首先把x的系数化为正的 再利用整体代换 将 x 代入相应不等式中 求解相应变量的取值范围 2 求复合函数单调区间时 要先求定义域 同时还要注意内层 外层函数的单调性 跟踪训练 1 三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性 1 f x sin4x cos4x cos2x 2 f x 分析 本题考查函数的奇偶性问题 解析 1 函数的定义域为 即定义域关于原点对称 且f x sin4 x cos4 x cos 2x sin4x cos4x cos2x f x 函数f x sin4x cos4x cos2x是偶函数 2 f 0 0 f无意义 函数f x 的定义域关于原点不对称 函数f x 为非奇非偶函数 点评 判断函数的奇偶性时 必须先检查函数的定义域是否是关于原点的对称区间 如果是 再验证f x 与f x 的关系 进而判断函数的奇偶性 如果不是 那么该函数必为非奇非偶函数 跟踪训练 一级训练1 下列命题正确的是 a y sinx在 0 内是单调函数b 在第二象限内 y sinx是减函数 y cosx也是减函数c y cosx的增区间是 0 d y sinx在区间上是减函数 d 2 已知函数f x sin x r 下面结论错误的是 a 函数f x 的最小正周期为2 b 函数f x 在区间上是增函数c 函数f x 的图象关于直线x 0对称d 函数f x 是奇函数 解析 由函数的f x sin cosx x r 可以得到函数f x 是偶函数 选择d 答案 d 1 求y asin x 的单调区间 首先把x的系数化为正的 再利