2018版高三数学第10章圆锥曲线与方程试题文.docx

第十章 圆锥曲线考点1 椭圆及其性质1.(2016新课标全国，5)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为() A. B. C. D.1.解析 如图,由题意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtOFB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab,代入解得a24c2,故椭圆离心率e，故选B.答案B2.(2016新课标全国，12)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为() A. B. C. D.2.解析 设M(c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，e.答案 A3.(2015广东，8)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0)，则m() A.2 B.3 C.4 D.93.解析 由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.答案 B4.(2015福建，11)已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是() A. B. C. D.4.解析 左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e，故选A.答案 A5.(2014大纲全国，9)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4，则C的方程为() A.1 B.y21 C.1 D.15.解析 由已知e，又AF1B的周长为|AF1|AB|BF1|AF1|(|AF2|BF2|)|BF1|(|AF1|AF2|)(|BF2|BF1|)2a2a4，解得a，故c1，b，故所求的椭圆方程为1，故选A.答案 A6. (2015浙江，15)椭圆1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是_.6.解析 设Q(x0，y0)，则FQ的中点坐标，kFQ，依题意解得又因为(x0，y0)在椭圆上，所以1，令e，则4e6e21，离心率e.答案 7. (2014江西，14)设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_.7.解析 由题意知F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，因为过F2且与x轴垂直的直线为xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又ADF1B，所以kADkF1B1，即1，整理得b22ac，所以(a2c2)2ac，又e，0eb0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为. (1)求E的离心率e； (2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，证明：MNAB.9.(1)解由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而.进而ab，c2b，故e.(2)证明由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得，又(a，b)，从而有a2b2(5b2a2).由(1)的计算结果可知a25b2，所以0，故MNAB.10.(2015陕西，20)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，-1)，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.10.(1)解由题设知,b1,结合a2b2c2,解得a,所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2，从而直线AP，AQ的斜率之和 kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.11.(2015重庆，21)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1. (1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ|PF1|，且，试确定椭圆离心率e的取值范围.11.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，由PF1PQ，|PQ|PF1|，得|QF1|PF1|.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a，进而|PF1|PQ|QF1|4a，于是(1)|PF1|4a，解得|PF1|，故|PF2|2a|PF1|.由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，从而4c2，两边除以4a2，得e2.若记t1，则上式变成e28.由，并注意到1关于的单调性，得3t4，即.进而e2，即e.12.(2014新课标全国，20)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.12.解(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1. 将及c代入得1.解得a7，b24a28,故a7,b 2 .13.(2014四川，20)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F(2,0)，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设O为坐标原点，T为直线x3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.13.解(1)由已知可得，c2，所以a.又由a2b2c2，解得b，所以椭圆C的标准方程是1.(2)设T点的坐标为(3，m)，则直线TF的斜率kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20，其判别式16m28(m23)0.所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即(x1，y1)(3x2，my2).所以解得m1.此时，四边形OPTQ的面积SOPTQ2SOPQ2|OF|y1y2|22.14.(2014安徽，21)设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|. (1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率.14.解(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得，|AF2|2a3k,|BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak).化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形.从而ca，所以椭圆E的离心率e.考点2 双曲线1.(2015安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y2x的是() A.x21 B.y21 C.x21 D.y211.解析 由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x21的渐近线方程为y2x，故选A.答案 A2.(2015天津，5)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为() A.1 B.1 C.y21 D.x212.解析 双曲线1的一个焦点为F(2，0)，则a2b24，双曲线的渐近线方程为yx，由题意得，联立解得b，a1，所求双曲线的方程为x21，选D.答案 D3.(2015湖南，6)若双曲线1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为() A. B. C. D.3.解析 由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选D.答案D4.(2015四川，7)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|() A. B.2 C.6 D.44.解析 右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x2，渐近线方程为x20，将x2代入渐近线方程得y212，y2，A(2，2)，B(2，2)，|AB|4.答案 D5.(2015重庆，9)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为() A. B. C.1 D.5.解析 双曲线1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(a，0)，A2(a，0)，易求B，C，则，又A1B与A2C垂直，则有1，即1，1，a2b2，即ab，渐近线斜率k1.答案 C6.(2015湖北，9)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则() A.对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2 C.对任意的a，b，e1e2 D.当ab时，e1e2；当ab时，e1e26.解析e1，e2 .不妨令e1e2，化简得0)，得bmam，得ba时，有，即e1e2；当ba时，有，即e10，所以a1，故选D.答案 D8.(2014重庆，8)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|PF2|)2b23ab，则该双曲线的离心率为() A. B. C.4 D.8.解析 根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又(|PF1|PF2|)2b23ab，所以4a2b23ab，即(ab)(4ab)0，又ab0，所以b4a，所以e.答案 D9.(2014广东，8)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的() A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.解析 若0k0，16k0，故方程1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e；同理方程1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c2，离心率e.可知两曲线的焦距相等.故选D.答案D10.(2014天津，6)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为() A.1 B.1 C.1 D.110.解析 由题意可得2，c5，所以c2a2b25a225，解得a25，b220，则所求双曲线的方程为1.答案 A11.(2014江西，9)过双曲线C：1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为() A.1 B.1 C.1 D.111.解析 设双曲线的右焦点为F，则F(c，0)(其中c)，且c|OF|r4，不妨将直线xa代入双曲线的一条渐近线方程yx，得yb，则A(a，b).由|FA|r4，得4，即a28a16b216，所以c28a0，所以8ac242，解得a2，所以b2c2a216412，所以所求双曲线的方程为1.答案 A12. (2016北京，12)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.12.解析 由2xy0得y2x，所以2.又c，a2b2c2，解得a1，b2.答案 1213. (2016山东，14)已知双曲线E：1(a0，b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_.13.解析 由已知得|AB|，|BC|2c，232c.又b2=c2-a2,整理得：2c2-3ac-2a2=0,两边同除以a2得2-3-2=0,即2e2-3e-20,解得e=2.答案214. (2016浙江，13)设双曲线x21的左、焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.14.解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.答案 (2，8)15. (2015新课标全国，15)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_.15.解析 由双曲线渐近线方程为yx，可设该双曲线的标准方程为y2(0)，已知该双曲线过点(4，)，所以()2，即1，故所求双曲线的标准方程为y21.答案 y2116. (2015北京，12)已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.16.解析 由题意：c2，a1，由c2a2b2.得b2413，所以b.答案 17. (2015新课标全国，16)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6).当APF周长最小时，该三角形的面积为_.17. 解析 设左焦点为F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周长最小即为|AP|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为1.与x21联立，解得P点坐标为(2，2)，此时SSAF1FSF1PF12.答案 1218. (2015山东，15)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_.18.解析 把x2a代入 1得yb.不妨取P(2a，b).又双曲线右焦点F2的坐标为(c，0)，kF2P.由题意，得.(2)ac.双曲线C的离心率为e2.答案 2考点3 抛物线1.(2016新课标全国，5)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k() A. B.1 C. D.21.解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0),由PFx轴知,|PF|2,所以P点的坐标为(1,2),代入曲线y(k0)得k2,故选D.答案D2.(2016四川，3)抛物线y24x的焦点坐标是() A.(0，2) B.(0，1) C.(2，0) D.(1，0)2.解析 对于抛物线y2ax，其焦点坐标为，y24x，则为(1，0).答案 D3.(2015陕西，3)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为() A.(1,0) B.(1,0) C.(0，1) D.(0,1)3.解析 由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题意得1，p2，焦点坐标为，故选B.答案 B4.(2015新课标全国，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|() A.3 B.6 C.9 D.124.解析 因为e，y28x的焦点为(2，0)，所以c2，a4，故椭圆方程为1，将x2代入椭圆方程，解得y3，所以|AB|6.答案 B5.(2014新课标全国，10)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|() A. B.6 C.12 D.75.解析 抛物线C：y23x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y，将y代入y23x，消去y整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1x2，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p12，故选C.答案 C6.(2014安徽，3)抛物线yx2的准线方程是() A.y1 B.y2 C.x1 D.x26.解析 由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p4,即p2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.答案 A7.(2014四川，10)已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是() A.2 B.3 C. D.7.解析 如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m0，n0，则(m2，m)，(n2，n)，m2n2mn2，解得mn1(舍)或mn2.lAB：(m2n2)(yn)(mn)(xn2)，即(mn)(yn)xn2，令y0，解得xmn2，C(2，0).SAOBSAOCSBOC2m2(n)mn，SAOFmm，则SAOBSAOFmnmmnm23，当且仅当m，即m时等号成立.故ABO与AFO面积之和的最小值为3.答案 B8.(2014辽宁，8)已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为() A. B.1 C. D.8. 解析 由点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，得焦点F(2，0)，kAF，故选C.答案 C9.(2014新课标全国，10)已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0() A.1 B.2 C.4 D.89.解析 由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，解得x01，故选A.答案 A10. (2014上海，4)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.10.解析 c2954，c2.椭圆1的右焦点为(2，0)，2，即抛物线的准线方程为x2.答案 x211. (2014湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等.若机器人接触不到过点P(1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_.11.解析 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y24x.过点P(1，0)，斜率为k的直线为yk(x1).由得ky24y4k0.当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，解得k1或k0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H. (1)求； (2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.12.解 (1)由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.13.(2016浙江，19)如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1. (1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.13.解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，由消去x得y24sy40.故y1y24，所以，B.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y.所以N.设M(m，0)，由A，M，N三点共线得，于是m，所以m0或m2.经检验，m0或m2满足题意.综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，).14.(2015浙江，19)如图，已知抛物线C1：yx2，圆C2：x2(y1)21，过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点. (1)求点A，B的坐标； (2)求PAB的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.14.解(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为yk(xt).由消去y，整理得：x24kx4kt0，由于直线PA与抛物线相切，得kt，因此，点A的坐标为(2t，t2).设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故 解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|t 和直线PA的方程txyt20，点B到直线PA的距离是d，设PAB的面积为S(t)，所以S(t)|AP|d.15.(2015福建，19)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3. (1)求抛物线E的方程； (2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.15.方法一(1)解 由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1，0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.法二(1)同法一.(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E：y24x上,所以m2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1).由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1，0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.16.(2014浙江，22)已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3. (1)若|3，求点M的坐标； (2)求ABP面积的最大值.16.解(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y-1.设P(x0,y0)，由抛物线定义知|PF|y01,得到y02,所以P(2，2)或P(2，2).由3，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0).由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k，2k2m).由3，得(x0，1y0)3(2k，2k2m1)，所以由x4y0得k2m.由0，k20，得m.又因为|AB|4，点F(0，1)到直线AB的距离为d.所以SABP4SABF8|m1| .记f(m)3m35m2m1.令f(m)9m210m10，解得m1，m21.可得f(m)在上是增函数,在上是减函数,在上是增函数.又ff.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.17.(2014福建，21)已知曲线上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3的距离小2. (1)求曲线的方程； (2)曲线在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.17.解方法一(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，依题意，点S到F(0，1)的距离与它到直线y1的距离相等.所以曲线是以点F(0，1)为焦点、直线y1为准线的抛物线，所以曲线的方程为x24y.(2)当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.证明如下：由(1)知抛物线的方程为yx2，设P(x0，y0)(x00)，则y0x，由yx，得切线l的斜率ky|xx0x0，所以切线l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得A.由得M.又N(0，3)，所以圆心C.半径r|MN|x0|，|AB|.所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.方法二(1)设S(x，y)为曲线上任意一点，则|y(3)|2，依题意，点S(x，y)只能在直线y3的上方，所以y3，所以y1，化简得，曲线的方程为x24y.(2)同方法一.考点4 直线与圆锥曲线的位置关系1.(2015四川，10)设直