高中数学 5.4等差数列与等比数列配套课件 苏教版.ppt

第四节等差数列与等比数列 三年2考高考指数 等差 等比数列的常用性质 1 若 an 是等差数列 则 m n p r n 若m n p r 则有 sn s2n sn s3n s2n 构成 数列 am an ap ar 等差 2 若 an 是等比数列 则 m n p r n 若m n p r 则有 an 是等比数列 则 an2 是 数列 若sn 0 则sn s2n sn s3n s2n 构成 数列 am an ap ar 等比 等比 1 数列 an 是公差不为0的等差数列 且a1 a3 a7为等比数列 bn 的连续三项 则数列 bn 的公比为 2 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn 若s10 2 s20 8 则s30 即时应用 解析 1 设数列 an 的公差为d d 0 由得 a1 2d 2 a1 a1 6d a1 2d 故 2 s10 s20 s10 s30 s20成等比数列 s20 s10 2 s10 s30 s20 即36 2 s30 8 s30 26 答案 1 2 2 26 等差 等比数列的基本运算 方法点睛 等差 等比数列的基本运算中应注意的问题 1 注意等差 等比数列通项公式 前n项和公式的正用 逆用和变形用 2 求首项与公差或首项与公比是此类题目的通法 3 与等比数列前n项和有关的问题应首先判断公比q能否为1 提醒 在基本运算过程中 要注意等差 等比数列性质的应用 例1 1 设数列 an 是公差不为0的等差数列 它的前10项和s10 110 且a1 a2 a4成等比数列 则an 2 等比数列 an 中 则sn 解题指南 1 列方程组求出a1 d即可 2 分q 1和q 1两种情况求解 当q 1时列关于a1 q的方程组 求出a1 q即可 规范解答 1 由题意知解得a1 d 2 an a1 n 1 d 2n 答案 2n 2 当q 1时 s3 3a3 符合题意 此时当q 1时 由已知得即解得 此时综上知答案 互动探究 本例 2 中若sn 93 an 48 公比q 2 试求项数n 解析 由题意知 得即2n 1 16 n 1 4 得n 5 反思 感悟 1 解答本题 2 时 易忽视q 1的情况 导致解答不全面 2 在运算过程中要善于运用整体代换的思想简化运算 变式备选 有四个数 其中前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 并且第一个数与第四个数的和是16 第二个数与第三个数的和是12 求这四个数 解析 设这四个数为a d a a d 依题意有 解得 这四个数为0 4 8 16或15 9 3 1 等差 等比数列的判定或探索 方法点睛 等差 等比数列的判定方法要判断一个数列是等差数列或等比数列可用定义法或中项法 而要说明一个数列不是等差数列或等比数列 只要说明某连续三项不成等差数列或等比数列即可 例2 2012 淮安模拟 数列 an 的前n项和记为sn a1 t an 1 2sn 1 n n 1 t为何值时 数列 an 是等比数列 2 在 1 的条件下 若等差数列 bn 的前n项和tn有最大值 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3为等比数列 求tn 解题指南 1 先求n 2时an 1与an的关系 再根据求t 2 根据tn有最大值知 公差d 0 规范解答 1 an 1 2sn 1 an 2sn 1 1 n 2 an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 要使 an 是等比数列 当且仅当即 t 1 2 设数列 bn 的公差为d 由t3 15 得b2 5 故b1 5 d b3 5 d 又a1 1 a2 3 a3 9 由题意知 5 d 1 5 d 9 82 解得d1 2 d2 10 又等差数列 bn 的前n项和tn有最大值 d 10 从而tn 5n2 20n 反思 感悟 1 在解答本题 2 时 易忽视 tn有最大值 这一条件 从而造成增解 2 在用判断等比数列时应注意下标n的范围 即应包括数列 an 中的所有比值 变式训练 设数列 an 的前n项和sn n2 数列 bn 满足 1 若b1 b2 b8成等比数列 试求m的值 2 是否存在m 使得数列 bn 中存在某项bt满足b1 b4 bt t n t 5 成等差数列 若存在 请指出符合题意的m的个数 若不存在 请说明理由 解析 1 因为sn n2 所以当n 2时 an sn sn 1 2n 1 又当n 1时 a1 s1 1 适合上式 所以an 2n 1 n n 所以则由b22 b1b8 得解得m 0 舍 或m 9 所以m 9 2 假设存在m 使得b1 b4 bt t n t 5 成等差数列 即2b4 b1 bt 则化简得所以当m 5 1 2 3 4 6 9 12 18 36时 分别存在t 43 25 19 16 13 11 10 9 8适合题意 即存在这样的m 且符合题意的m共有9个 等差 等比数列中的最值与范围 方法点睛 解决数列中的最值范围问题的解题思路 1 用函数思想处理 先求出相应函数的解析式 研究函数的单调性 也可借助函数图象 2 利用不等式知识处理 如求项的最大 小 值 数列中的范围问题也常利用基本不等式或解不等式的方法来解决 例3 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn n 5an 85 n n 1 证明 an 1 是等比数列 2 求数列 sn 的通项公式 并求出n为何值时 sn取得最小值 并说明理由 解题指南 由前n项和与第n项的关系 求出an与an 1的关系 再完成第 1 问的证明 由 1 求出an 再求sn 由计算n的值 规范解答 1 当n 1时 a1 1 5a1 85 所以a1 14 当n 2时 an sn sn 1 n 5an 85 n 1 5an 1 85 化简得 6an 5an 1 1 即6 an 1 5 an 1 1 所以 an 1 是以a1 1 15为首项 公比为的等比数列 2 由 1 得所以且由得又由n n 解得n 15 反思 感悟 数列求最值问题常常涉及不等式知识 1 将所求用其他变量表示 进而构造基本不等式的应用条件 利用基本不等式求最值 此时特别要注意因为n n 对等号能否取得的影响 2 利用条件转化为关于所求量的不等式 进而利用完全平方的非负性或放缩法求解 变式训练 已知 an 是公差为d的等差数列 它的前n项和为sn s4 2s2 4 1 求公差d的值 2 若求数列 bn 中的最大项和最小项的值 3 若对任意的n n 都有bn b8成立 求a1的取值范围 解析 1 s4 2s2 4 解得d 1 2 数列 an 的通项公式为an a1 n 1 n 函数在上分别是单调减函数 b3 b2 b1 1 当n 4时 1 bn b4 数列 bn 中的最大项是b4 3 最小项是b3 1 3 又函数在 1 a1 和 1 a1 上分别是单调减函数 且x 1 a1时y 1 x 1 a1时y 1 对任意的n n 都有bn b8 7 1 a1 8 7 a1 6 a1的取值范围是 7 6 满分指导 等比数列解答题的规范解答 典例 14分 2012 无锡模拟 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且 1 求 an 的通项公式 2 设求数列 bn 的前n项和tn 解题指南 1 设出公比q 根据条件列出关于a1与q的方程 组 求得a1与q 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得的数列通项公式 可求出 bn 的通项公式 由其通项公式可知其和分成两个等比数列与一常数列分别求和 规范解答 1 设数列 an 的公比为q 则an a1qn 1 由已知得 2分化简得又a1 0 故q 2 a1 1 所以an 2n 1 6分 2 由 1 知 8分所以数列 bn 的前n项和 14分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 南京师大附中模拟 已知a b c a b c 成等差数列 将其中的两个数交换 得到的三数依次成等比数列 则的值为 解析 设等差数列的公差为d 则a b d c b d d 0 若b2 b d b d 则d 0不合题意 若 b d 2 b b d 则d2 3bd d 3b 若 b d 2 b b d 则d2 3bd d 3b 综上知答案 20 2 2011 江苏高考 设1 a1 a2 a7 其中a1 a3 a5 a7成公比为q的等比数列 a2 a4 a6成公差为1的等差数列 则q的最小值是 解析 设a2 t 则1 t q t 1 q2 t 2 q3 由于t 1 所以故q的最小值是答案 3 2012 苏州模拟 设 an 是等比数列 公比sn为 an 的前n项和 记设为数列 tn 的最大项 则n0 解析 根据等比数列的通项公式和前n项和公式易得令设函数g t t 0 当t 4时函数g t 取得最小值 此时n 4 而故此时tn最大 所以n0 4 答案 4 4 2012 南京模拟 已知 an 是一个公差大于0的等差数列 且满足a3a6 55 a2 a7 16 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 和数列 bn 满足等式 n为正整数 求数列 bn 的前n项和sn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d d 0 由a2 a7 16 得2a1 7d 16 由a3 a6 55 得 a1 2d a1 5d 55 由 得2a1 16 7d将其代入 得 16 3d 16 3d 220 即256 9d2 220 d2 4 又d 0 d