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第35讲 基本不等式解密考纲考查基本不等式，常以选择题、填空题的形式出现在解答题中也渗透基本不等式的应用一、选择题1已知f(x)x2(x0，则下列不等式中，恒成立的是(C)Aab2BC2Da2b22ab解析 ab0，0，0，22，当且仅当ab时取等号3若a0，b0，且a(a2b)4，则ab的最小值为(C)AB4C2D2解析 a0，b0，a2b0，又a(a2b)4，4a(a2b)，当且仅当aa2b2时等号成立(ab)24，ab2.4函数y(x1)的最小值是(A)A22B22C2D2解析 x1，x10.yx122222.当且仅当x1，即x1时，取等号5若正数a，b满足ab2，则的最小值是(B)A1BC9D16解析 (52)，当且仅当，b12(a1)时取等号，故选B6小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则(A)AavBvCv0)图象上的点，则xy的最小值为_2_.解析 因为x0，所以y0，且xy2.由基本不等式得xy22，当且仅当xy时等号成立8已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_9_.解析 由已知得1，则(102)9，当且仅当x，y时取等号9已知x，y为正实数，3x2y10，的最大值为_2_.解析 由得2，当且仅当x，y时取等号三、解答题10(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值解析 (1)x，2x30，y(2x3)24，当且仅当32x，即x时，ymax.函数y的最大值为.(2)0x0，y，当且仅当2x42x，即x1时，ymax.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解析 (1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，(8)0，又0，8即xy64.当且仅当x4y即8y8y4y20时，即y4，x16时取等号，xy的最小值为64.(2)2x8yxy0，1，xy(xy)1010218.当且仅当，即x2y即4y8y2y20时，即y6，x12时取等号，xy的最小值为18.12某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解析 (1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1，所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0x240.故y与x的函数关系是y240x160(0x240)(2)y240x160216024 8001609
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