高考数学第一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版.ppt

第三节函数的奇偶性与周期性 知识梳理 1 奇函数 偶函数的概念及图象特征 任意 f x f x f x f x 原点 y轴 原点 2 函数的周期性 1 周期函数 t为函数f x 的一个周期 则需满足的条件 t 0 对定义域内的任意x都成立 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个 就叫做它的最小正周期 3 周期不唯一 若t是函数y f x x r 的一个周期 则nt n z 且n 0 也是f x 的周期 即f x nt f x f x t f x 最小的正数 最小的正数 考点自测 1 思考 给出下列命题 若函数f x 为奇函数 则一定有f 0 0 函数f x sinx x 0 2 为周期函数 若函数y f x a 是偶函数 则函数y f x 关于直线x a对称 若函数y f x b 是奇函数 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 若函数f x 在点x 0处没有定义 如f x 则f 0 不存在 错误 函数f x 在r上为周期函数 而在 0 2 上不是 正确 函数y f x a 关于直线x 0对称 则函数y f x 关于直线x a对称 正确 函数y f x b 关于点 0 0 中心对称 则函数y f x 关于点 b 0 中心对称 2 下列函数为偶函数的是 a y tanxb y c y exd y ln 解析 选d 由函数奇偶性的定义知a b项为奇函数 c项为非奇非偶函数 d项为偶函数 3 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 解析 选b 由已知得a 1 2a 0 得a 又b 0 所以a b 4 2014 武汉模拟 函数y f x x r 的图象如图所示 下列说法正确的是 函数y f x 满足f x f x 函数y f x 满足f x 2 f x 函数y f x 满足f x f x 函数y f x 满足f x 2 f x a b c d 解析 选c 根据图象知函数f x 的图象关于原点对称 故为奇函数 所以 正确 又其图象关于直线x 1对称 所以 正确 5 2013 山东高考 已知函数f x 为奇函数 且当x 0时 f x x2 则f 1 a 2b 0c 1d 2 解析 选a 因为函数f x 为奇函数 所以f 1 f 1 又因为当x 0时 f x x2 所以f 1 12 2 f 1 f 1 2 6 2014 张家界模拟 若函数f x 是周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 8 f 14 解析 f 8 f 5 3 f 3 f 3 5 f 2 f 2 2 f 14 f 15 1 f 1 f 1 1 所以f 8 f 14 2 1 1 答案 1 考点1确定函数的奇偶性 典例1 1 2013 广东高考 定义域为r的四个函数y x3 y 2x y x2 1 y 2sinx中 奇函数的个数是 a 4b 3c 2d 1 2 判断下列函数的奇偶性 解题视点 1 根据定义逐一验证奇偶性即可 2 先求定义域 看定义域是否关于原点对称 在定义域内 解析式带绝对值号的先化简 计算f x 再判断f x 与f x 的关系 分段函数应分情况判断 规范解答 1 选c y x3 y 2sinx是奇函数 y x2 1是偶函数 y 2x是非奇非偶函数 2 要使f x 有意义 则 0 解得 1 x 1 显然f x 的定义域不关于原点对称 所以f x 既不是奇函数 也不是偶函数 因为所以 2 x 2且x 0 所以函数f x 的定义域关于原点对称 所以f x f x 即函数f x 是奇函数 显然函数f x 的定义域为 0 0 关于原点对称 因为当x0 则f x x 2 x x2 x f x 当x 0时 x 0 则f x x 2 x x2 x f x 综上可知 对于定义域内的任意x 总有f x f x 成立 所以函数f x 为奇函数 易错警示 关注函数定义域本例第 2 题容易忽略函数的定义域导致判断错误 所以判断函数的奇偶性时 切记先看定义域是否关于原点对称 规律方法 判断函数奇偶性的两个方法 1 定义法 2 图象法 变式训练 2014 兰州模拟 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数b f x 为偶函数 g x 为奇函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数 解析 选b 因为f x 3 x 3x f x g x 3 x 3x g x 所以f x 为偶函数 g x 为奇函数 故选b 加固训练 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 f x 3 f x 解析 1 原函数的定义域为 x x 0 并且对于定义域内的任意一个x都有f x x 3 从而函数f x 为奇函数 2 f x 的定义域为 1 1 关于原点对称 又f 1 f 1 0 f 1 f 1 0 所以f x 既是奇函数又是偶函数 3 f x 的定义域为r 关于原点对称 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0时 f 0 0 也满足f x f x 故该函数为奇函数 考点2函数的周期性及其应用 典例2 1 2013 湖北高考 x为实数 x 表示不超过x的最大整数 则函数f x x x 在r上为 a 奇函数b 偶函数c 增函数d 周期函数 2 2013 大纲版全国卷 设f x 是以2为周期的函数 且当x 1 3 时 f x x 2 则f 1 解题视点 1 根据 x 的规定 作出函数f x 的图象 由图象观察求解 2 根据函数周期为t 2 得f x f x 2 从而将f 1 的函数值转化为求f 1 的值 规范解答 1 选d 由图象可知选d 2 因为t 2 则f x f x 2 又f 1 f 1 2 f 1 因为x 1 3 时 f x x 2 所以f 1 f 1 1 2 1 答案 1 互动探究 在本例 2 的条件下 求f 2014 f 2015 的值 解析 由已知f 2014 f 1007 2 0 f 0 f 2 f 2015 f 2 1007 1 f 1 所以f 2014 f 2015 f 2 f 1 2 2 1 2 1 规律方法 1 判断函数周期性的两个方法 1 定义法 2 图象法 2 判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f x 定义域内的任意一个x都有 1 f x a f x a 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 2 f x a a 0 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 3 f x a 则函数f x 必为周期函数 2 a 是它的一个周期 提醒 应用函数的周期性时 应保证自变量在给定的区间内 3 函数周期性的重要应用利用函数的周期性 可将其他区间上的求值 求零点个数 求解析式等问题 转化为已知区间上的相应问题 进而求解 变式训练 2014 长沙模拟 已知y f x 是定义在r上的函数 且满足f x f x 5 当 1 x 1时 函数y f x 是奇函数 又知y f x 在 0 1 上是一次函数 且在 1 4 上是二次函数 且在x 2时函数取得最小值 5 1 求f 1 f 4 的值 2 求y f x x 1 4 上的解析式 3 求y f x 在 4 9 上的解析式 并求函数y f x 的最大值与最小值 解析 1 t 5 因为f 1 f 1 f 1 5 f 4 所以f 1 f 4 0 2 设x 1 4 f x a x 2 2 5 由 1 得a 2 此时f x 2 x 2 2 5 因为f 1 3 f 0 0 可得x 1 1 f x 3x 故f x 3 f x 得f x max 3 f x min 5 加固训练 1 2014 舟山模拟 已知定义在r上的函数f x 满足f x 且f 1 3 则f 2014 解析 因为f x 所以f x 3 f x 所以f x 是以3为周期的周期函数 则f 2014 f 671 3 1 f 1 3 答案 3 2 已知函数f x 满足f x 1 若f 1 2014 则f 103 解析 因为f x 1 所以所以f x 4 f x 即函数f x 的周期为4 因为f 1 2014 所以f 103 f 25 4 3 f 3 答案 3 2013 济南模拟 设定义在r上的函数f x 满足f x f x 2 13 若f 1 2 则f 99 解析 因为f x f x 2 13 所以f x 2 则有f x 4 所以f x 是以4为周期的周期函数 所以f 99 f 25 4 1 f 1 答案 考点3函数奇偶性的应用 考情 函数的奇偶性在求函数值 求解析式 求解析式中参数的值 画函数图象和判断单调性等方面有着重要应用 因此已成为高考命题的一个热点 常与函数的其他性质交汇命题 多以选择 填空题的形式出现 高频考点通关 典例3 1 2013 湖南高考 已知f x 是奇函数 g x 是偶函数 且f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 则g 1 等于 a 4b 3c 2d 1 2 2014 济南模拟 若函数f x ax2 2a2 a 1 x 1为偶函数 则实数a的值为 a 1b c 1或 d 0 解题视点 1 根据函数的奇偶性的定义 利用f 1 f 1 g 1 g 1 求解 2 根据f x f x 0构建关于a的方程求解 规范解答 1 选b 因为f x 是奇函数 g x 是偶函数 所以f 1 f 1 g 1 g 1 分别代入f 1 g 1 2 f 1 g 1 4再相加得g 1 3 2 选c 因为f x 为偶函数 所以f x f x 0 即ax2 2a2 a 1 x 1 ax2 2a2 a 1 x 1 0 亦即 2a2 a 1 x 0 又因为对x r恒成立 所以2a2 a 1 0 解得a 1或 通关锦囊 通关题组 1 2013 福建高考 函数f x ln x2 1 的图象大致是 解析 选a f x ln x 2 1 ln x2 1 f x 所以f x 的图象关于y轴对称 且x 0 时 f x 是增函数 过点 0 0 2 2014 孝感模拟 已知f x 是定义在r上的奇函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x ex 1 则f 2013 f 2014 a 1 eb e 1c 1 ed e 1 解析 选b 由于f x 是定义在r上的奇函数 若对于x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x ex 1 所以f 2013 f 1 e 1 f 2014 f 2014 f 0 0 故可知f 2013 f 2014 e 1 3 2014 长沙模拟 奇函数f x 在区间 1 1 上是增函数 且f 1 1 当x 1 1 时 函数f x t2 2at 1对一切a 1 1 恒成立 则实数t的取值范围是 a 2 t 2b t 2或t 2c t 0或t 2d t 2或t 2或t 0 解析 选d 奇函数f x 在 1 1 上是增函数 且f 1 1 所以函数f x 在 1 1 上的最大值是1 所以1 t2 2at 1 当t 0时显然成立 当t 0时 则t2 2at 0成立 又a 1 1 令g a 2at t2 a 1 1 当t 0时 g a 是减函数 故令g 1 0 解得t 2 当t 0时 g a 是增函数 故令g 1 0 解得t 2 综上知 t 2或t 2或t 0 选d 加固训练 1 2011 湖南高考 已知f x 为奇函数 g x f x 9 g 2 3 则f 2 解析 因为f x g x 9是奇函数 所以f x f x 所以g x 9 g x 9 所以g 2 9 g 2 9 因为g 2 3 所以g 2 15 所以f 2 g 2 9 6 答案 6 2 2014 郑州模拟 若函数f x x2 x a 为偶函数 则实数a 解析 方法一 因为f x 为偶函数 所以f x f x 即x2 x a x 2 x a x a x a 恒成立 所以a 0 方法二 函数y x2为偶函数 函数y x a 是由偶函数y x 向左或向右平移了 a 个单位得到的 要使整个函数为偶函数 则需a 0 答案 0 3 2014 北京模拟 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x x2 x 则f x 的解析式为 解析 由已知得f 0 0 当x0 而x 0时 f x x2 x 所以f x x2 x 又f x 为奇函数 所以f x f x 所以得f x x2 x 综上可知答案 创新体验2 创新运用函数奇偶性问题 典例 2013 辽宁高考 已知函数f x ln 3x 1 则f lg2 a 1b 0c 1d 2 审题视点 解析 选d 令g x ln 3x 则因为 3x 所以函数定义域为r 又g x ln 3x ln 3x g x 所以g x 为奇函数 所以g x g x 0 所以g lg2 g lg2 g lg2 0 所以f lg2 g lg2 1 g lg2 g lg2 2 0 2 2 创新点拨 1 高考考情 创新运用函数的奇偶性问题是高考命题考查函数奇偶性的一个新角度 考查频次较高 2 命题形式 常以给出函数f x g x c 其中c为非零常数 而g x 为奇函数 求f x 最大值与最小值的和 或求f a f a 的值的形式出现 备考指导 1