（计算机应用技术专业论文）隐式曲面上分段光滑图像分割研究.pdf

f i i iii 1 1 1 i i1 i ii iu l y 1 7 3 3 8 0 7 a b s t r a c t i m a g es e g m e n t a t i o ni so n eo fh o tp o i n tp r o b l e m si nt h er e s e a r c hf i e l d so f i m a g ep r o c e s s i n g ，c o m p u t e rv i s i o ne t c i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nm e d i c a l d i a g n o s e s ，c o m p u t e r a i d e ds u r g e r y ，m a c h i n ev i s i o n ，r e s o u r c ec l a s s i f i c a t i o nb a s e d o nr e m o t es e n s i n ga n ds oo n m u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o ni sa na c t i v eb r a n c ho fi m a g es e g m e n t a t i o n ； l e v e ls e tm e t h o dh a st o p o l o g i cs e l f - a d a p t i v ec a p a c i t y m o r e o v e r ，v a r i a t i o n a l m e t h o dw h ic hc a nc o n v e n i e n t l yi n t e g r a t ei m a g ei n f o r m a t i o n ，s u c ha se d g e ，r e g i o n ， s h a p e ，t e x t u r ea n dm o t i o nf i e l d b e c o m e st h em a i n s t r e a mm e t h o do fi m a g e s e g m e n t a t i o n t h ei m a g eo ni m p l i c i ts u r f a c ei sa ne x t e n s i o no fp l a n ei m a g e t h e m o d e l sf o rp l a n ei m a g ea r en o tu s e df o ri m p l i c i ts u r f a c e s i n c ep i e c e w i s es m o o t h i m a g ec o u l db em o r ec l o s e dt or e a li m a g et h a np i e c e w i s ec o n s t a n ti m a g e ，t h es t u d y o f p i e c e w i s es m o o t hi m a g ei s m o r ev a l u a b l e s o m e s y s t e m a t i cr e s e a r c ho f v a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o df o rm u l t i p h a s ep i e c e w i s es m o o t hi m a g es e g m e n t a t i o n o ni m p l i c i ts u r f a c ei sd o n e t h ep a p e rc o m p r i s e sf o l l o w i n ga s p e c t s ：f i r s t l y ，t h e c u r v ee v o l u t i o nt h e o r y s e c o n d l y ，l e v e ls e tm e t h o da n dm u m f o r d s h a hm o d e l a r es y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e da n dt h e i ra p p l i c a t i o ni ni m a g es e g m e n t a t i o nf i e l di s d i s c u s s e d t h e ng e n e r a lr e g i o n sr e p r e s e n t a t i o nm o d e li sb r o u g h to u tb a s e do nt h e r e g i o nc o m p e t i t i o ns t r a t e g yo fc h a n v e s ew i t h o u to v e r l a p p i n g a n dv a c u u m p r o b l e m s t h i r d l y ，w ee x t e n dt h el e v e ls e tm e t h o df r o mt w o d i m e n s i o n a lp l a n e i n t ot h r e e d i m e n s i o n a l i m p l i c i t s u r f a c ef i e l da n db u i l dt h eg e n e r a lm o d e lf o r m u l t i p h a s ep i e c e w i s es m o o t hi m a g es e g m e n t a t i o no ni m p l i c i ts u r f a c e f o u r t h l y ， w ew r i t ep r o g r a mf o rt h en e w m o d e l ，t h e nt e s ta n dv e r i f yi np r a c t i c ew i t ha r t i f i c i a l i m a g e t h em o d e lo fm u l t i p h a s ep i e c e w i s es m o o t hi m a g es e g m e n t a t i o no ni m p l i c i t s u r f a c e u s i n gp a r a m e t r i ce s t i m a t i o nm o d e la n dd i f f e r e n tr e g i o nc o m p e t i t i o n s c h e m e si s p r e s e n t e di nt h i sp a p e r m a n ye x p e r i m e n t sd e n o t et h a tw eg e tt h e s a t i s f y i n gr e s u l t s f i n a l l y ，f u t u r er e s e a r c hi nt h i sf i e l di ss u g g e s t e da i m i n ga tt h e p r o b l e m sa n dl i m i t a t i o n so ft h i sm o d e lt h a th a v ee m e r g e di nt h ee x p e r i m e n t s k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a ll e v e ls e tm e t h o d ；i m p l i c i ts u r f a c e ；p i e c e w i s e s m o o t h ；p a r a m e t e re s t i m a t i o n ；m u l t i p h a s ei m a g es e g m e n t a t i o n ； l r i y +-r li i1 _1，1 目录 第一章绪论1 1 1 引言1 1 2 课题背景及其意义1 1 3 图像分割研究现状3 1 4 论文的主要工作内容与章节组织7 第二章隐式曲面上图像处理基础9 2 1 隐式曲面上的图像定义9 2 2 隐式曲面上的内蕴梯度算子1 0 2 3 空间曲线的运动表达1 1 2 4 本章小结1 3 第三章平面上的图像分割模型1 4 3 1 平面上分段光滑图像分割模型1 4 3 1 1m u m f o r d s h a h 模型1 4 3 1 2 改进的m u m f o r d s h a h 模型1 5 3 1 3 基于改进的m u m f o r d - s h a h 模型的图像分割模型1 7 3 1 4c h a n - v e s e 的两相分段光滑图像分割模型2 0 3 2c h a n - v e s e 的多相图像分割模型2 1 3 2 1c h a n - v e s e 的区域竞争策略2 l 3 2 2 平面上c h a n - v e s e 的多相图像分割模型2 3 3 3 本章小结2 7 第四章隐式曲面上的图像分割模型2 8 4 1 隐式曲面上的两相分段光滑图像分割模型2 8 4 1 1 两相分段光滑模型的曲线演化方程2 8 4 1 2 显式差分迭代格式2 9 4 2 隐式曲面上的多相分段光滑图像分割模型3 2 4 2 1 多相光滑图像分割模型的曲线演化方程3 3 4 2 2 演化方程的显式差分迭代格式3 5 4 3 数值实验结果3 7 4 4 本章小结4 0 第五章总结与展望4 l 5 1 本文的工作总结4 l 5 2 今后的工作展望4 l 参考文献4 3 攻读学位期间的研究成果4 6 致 射4 7 学位论文独创性声明4 8 学位论文知识产权权属声明4 8 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 图像信息是反映外部世界的一个重要方面，人们认识世界和改造世界就是 要获得各种各样的信息。图像信息，是人类获得外界信息的主要来源，因为人 类大约7 0 的信息是通过人眼获得的，人类正是通过自己的眼睛来认识这个多 姿多彩的世界。 数字图像处理技术是一个跨学科的领域。随着计算机科学技术的不断发 展，数字图像处理以及图像应用分析在发展中形成了科学系统的体系，在其短 暂的发展历史过程中，新的思路、新的方法、新的理论不断涌现，引起了各方 面相关人士的深切关注。首先，视觉是人类最重要的感知手段，图像又是视觉 的基础，因此，数字图像成为人类心理、生理、医学手术、计算机辅助科学等 诸多领域内的学者们研究视觉科学的有效工具。其次，数字图像处理在现实中 的一些诸如军事、遥感以及气象领域的计算机大型图像应用中呈现出不断增长 的需求。 1 2 课题背景及其意义 在数字图像处理技术在社会各个方面得到广泛的研究和应用的今天，图像 分割领域也因其是图像处理分析以及计算机视觉等科学领域内非常重要的研 究分支，成为时下最热门的研究问题之一。现实的研究中离不开数字图像，而 且研究总要有主次之分，对不感兴趣的方面或者部分往往要分析剔除，对感兴 趣的部分进行重点研究。数字图像分割就是基于这种思想来处理问题的，为后 续工作有效进行而将图像划分为若干个有意义的区域的技术称为图像分割。在 数字图像分割中，我们研究的重点一般对应于如何将图像中我们感兴趣且具有 特殊性质的图像区域提取出来。对感兴趣的特殊目标进行更深层次的分析处 理，为后续工作提供必要的基础，这就是图像分割的思想。图像分割是根据图 像的特征，比如图像中的边缘属性信息、区域特征信息、各类噪声分布信息与 纹理分布信息、光流运动信息等将图像中把用户感兴趣的部分提取出来，是进 一步进行图像识别、分析和理解的基础图像处理技术，是指把图像分成符合不 青岛人学硕+ 学位论文 同分布的区域提取出感兴趣目标的过程。首先，图像分割在数字图像处理技 术中是一种起前提性作用的基础行为，其结果对图像特征的测量有比较重要的 影响；其次，对图像的研究的目的就是获得更高层次的关于图像的分析和理解， 为此我们需要图像分割以及其基于分割的目标表达、特征提取和参数测量可以 将原始图像信息转化为更具体、更深入的形式。因此，数字图像分割是图像分 析、计算机视觉以及目标识别检测等基础性前提处理的一个必要步骤。图像分 割其实还是一个比较泛泛的概念，其包括的范围其实很多，很多不同名的技术 其实也可以归属图像分割的范畴，比如目标检测、三维重建等其核心实质也不 外乎是图像分割技术。图像也有分类，并不是所有的图像都可以用统一的方法 来处理的。不同类型的图像，可能需要相应的分割方法，同时，某些分割方法 也只是适用于某些具体图像类型的分割。分割结果的细节其实是衡量分割结果 好坏的一个重要指标，其次分割具体的场合、条件、要求等也是衡量结果的指 标。从图像处理到图像分析的过程中，图像分割在其中起到联接的关键作用。 可以说，图像分割结果的好坏在一定程度上会影响到研究人员对图像综合信息 的理解。所以说，图像分割在数字图像处理的科学研究中起到了前提性的基础 作用，在数字图像处理的科学研究中占据了极其重要的地位。 物理学中可以分单相，两相以及多相流，在图像分割中，亦有相对应的两 相图像和多相图像之分。在此，相的概念我们可以这样理解，我们把数字图像 看做是像素点的集合，不同区域的像素点符合不同分布模型，这样就构成了多 种不同分布的图像区域。每一种区域可以看多一种相。还可以根据图像区域性 质分，可以分为分段常值图像和分段光滑图像分割，分段常值图像其图像强度 是恒定不变的区域组成的，而分段光滑的图像其图像强度是光滑变化的，尤其 在边缘区域能更加明显的显现出光滑变化的特征。另外也有人按照传统的维 数，把图像分割分为二维图像和三维图像分割，这里的二维的图像分割就是传 统意义上的平面图像分割，它可以表达某一界面的图像信息，而三维图像分割 还可以细分为三维立体图像和曲面上的图像分割。我们可以理解三维图像是一 层一层的二维图像在三维空间的叠合。 我们所接触的各种各样的图像是通过各种观测系统或者仪器观测客观世 界获得的，其中包含了丰富的信息，可以直接或间接作用于人的眼睛并产生视 觉，在人类感知客观世界的过程中扮演着重要的角色。图像分割可以在图像中 抽取关键的信息，有助于在分析图像时获得更深的理解。国内外对平面的图像 分割研究已经相当成熟，但我们眼睛最直观的世界是三维的，确切的说，眼睛 2 第一章绪论 对外界的所有的映像基本是建立在曲面上的一幅一幅图像。所以对曲面的图像 处理就显的尤为必要，曲面上的图像分割对医学手术，地理勘测，产品检测等 方面都有着显著的现实作用。目前在两相以及分段常值的图像分割研究中产生 了大量方法，但只使用一个水平集函数以及对于某些图像只看作分段常值模型 进行分割，以及二维图像分割难以处理复杂的图像序列所反映的三维立体信息 等，于是迫切需要关于多相图像以及三维图像序列的分割研究，而且多相的光 滑的图像更接近于原始的真实的图像，在这几方面的综合集成算法的研究也是 很有意义的。 1 3 图像分割研究现状 图像分割旺1 是数字图像处理d 1 、计算机视觉h 1 领域研究的热点内容之一， 是形状修复1 、对象的检测与识别阳3 、运动对象跟踪 1 等研究的关键技术，并 在医用图像分析诊断、医学手术辅助、产品检测、卫星遥感图像处理及资源分 布划分等诸多领域具有重要应用。 早期的图像分割方法大体可以分为两大类。最早出现的一类是基于边界信 息的处理方法，这种方法默认一个前提的假设，就是运用此种方法来进行分割 的时候，其结果的某一个区域一定在原始图像中有相对应的边缘存在；随后出 现了另一类基于区域信息的处理方法，这种方法是在图像分割结果中一定存在 某个子区域有相同的性质，而像素在其它不同区域则不会表现出共同的性质这 个前提假设下进行。早期的这两类方法都有其不同于其它的特点，现在某些从 事研究这方面图像分割方法的专家学者们考虑把两种方法的优点集中在一个 模型中来实现。现在，计算机技术的发展日新月异，迅猛发展。由此大量的方 法随着计算机技术的发展也层出不穷，例如基于变分法的图像分割、基于水平 集的图像分割、两种方法的结合方法、基于直方图谷点门限方法的分割等等。 而且很多计算机处理工具和算法也相应的出现，比如时域和频域信号处理，小 波变换、对偶处理算法、还有最近才出现的分裂( s p l i t - b r e g m a n ) 算法。但 现实的图像类型多种多样，图像性质错综复杂，所以想找一种普遍适用于各类 图像并且行之有效的方法的确是难度巨大。所以说，对图像分割的研究还需要 不断深入的研究，是现在数字图像处理中研究的热点之一。 在图像分割的发展过程中，源于物理学的主动轮廓线模型( a c m - a c t i v e c o n t o u rm o d e l ) 在图像分割中显示出广阔的研究空间，这个模型在形式上使 3 青岛人学硕十学位论文 用1 个或者1 组偏微分方程，这个方程实质上涵盖了分割部分的边界信息，其 特点在于它显示的表达了连续的边界。这样便使模型可直接运用于计算机科学 技术的处理过程，实现了自动化的分割过程，其分割出来的结果精确度高，而 且还可以方便的被再次运用到其他的此类模型程式中去，这种方法可以说在当 今国际图像处理研究领域占据重要的地位。这种方法运用能量函数变分方法可 以方便的在计算机中来实现，首先建立包含边界或者区域信息等模型成分的目 标泛函，其形式可以是显示或者隐式，通过对泛函实行等效的数学变换进一步 得到泛函所对应的欧拉一拉格朗日方程，所得的结果即为图像分割的边界区 域。 图像分割的主动轮廓线模型分为参数主动轮廓线模型 ( p a c m p a r a m e t r i c a c m ) 和几何主动轮廓线模型( g a c m - g e o m e t r i ca c m ) 阳】，参数 主动轮廓线模型基于拉格朗日框架，以曲线或者曲面的弧长等参数以一种参数 化的形式表达轮廓曲线或者曲面的模型。该类方式可以实现与模型的直接交 互，实现快速，具有直观的物理意义。但该类模型在处理模型拓扑结构的变化 时具有相当的难度，在根本上来说几乎是不可能的。而几何变形模型方法基于 欧拉框架，是基于水平集方法的自动化分割方法。水平集方法源于界面传播等 研究，是o s h e r ，s e t h i a n 旧1 于1 9 9 8 年的开创的具有重大意思的方法，是处理 封闭运动界面随时间演化过程中拓扑结构变化的有效计算工具。水平集方法的 基本思想是将界面看成高一维空间中某一函数( 称为水平集函数) 的零水平集， 且将界面的速度也扩充到高维的水平集函数上，然后写出水平集函数所满足的 发展方程，求解此方程，推进水平集函数，计算到要求时刻，找出此新时刻水 平集函数的零水平集，得到界面的形状，界面的法向方向，曲率等由水平集函 数的偏导数容易算出。其形式可自然地从二维扩展到高维，具有柔性的拓扑自 适应能力和稳定的数值性态。水平集方法在图像分割中的应用，可以说是图像 分割领域的一次具有重大历史意义的发展。 几何主动轮廓线模型( g a c m ) 始于c a s e ll e s ，c a t t e ，c o l l ，d i b o s 【l0 1 ， m a l l a d i ，s e t h i a n ，v e m u r i n 等的工作，前期的几何主动轮廓线分割模型主要 基于两相图像提出实现的，在随后的发展中，相继出现了基于边界、区域、先 验形状的模型以及集成化模型。变分方法和水平集方法的结合成为图像分割发 展中有着旺盛前景的方法，z h a o ，c h a n ，m e r r i m a n ，a n do s h e r n 2 3 称这类方法 为变分水平集方法。集合边界、区域、先验形状等多种模型在处理图像分割中 的特点融合而成的几何主动轮廓线模型能有效提高经典方法图像分割处理方 4 第一章绪论 面的准确稳定性和计算效率，并且在平面两相图像分割的研究中已经获得大量 成熟的成果，但在多相图像分割和曲面图像分割方面的研究则处于起步阶段。 在此后l o 多年的发展过程中，几何主动轮廓线模型运用于两相图像分割和多 水平集分割多相图像的各种算法策略越来越成熟，获得的分割效果也越来越 好。在先前基于边界边缘的几何轮廓线模型、基于区域的几何轮廓线模型基 础上、基于先验形状知识的几何轮廓线模型基础上，又出现了纹理图像分割 模型、运动图像的分割分割模型及这些模型集成化的图像分割模型，多模型的 有效成分的集成算法是近年该学术流派发展的重要方向。同时，分割的稳健性 也获得很好的提高。 基于几何主动轮廓线模型的多相的图像分割基本上都是运用变分水平集 方法。单个水平集函数在传统的情况下可以描述两个相，而多个相的图像一般 情况下需要用多个水平集函数描述。图像的多相分割思想始于z h a o ，c h a n ， m e r r i m a n ，a n do s h e r 纠关于多相运动仿真的研究，该方法用n 个水平集函数 来描述n 个区域，同时为了避免多个水平集函数在所覆盖区域中的重叠和漏 分其所覆盖区域，须附加相应的约束条件，然而，为了使水平集函数在数值运 算的过程中始终保持为可运算的符号距离函数，还必须为多个水平集函数不断 进行重新初始化，这又是一种约束行为，从而使得最终获得的欧拉一拉格朗日 方程为一组偏微分和代数的混合方程组。s a m s o n ，b 1 a n c - f e r a u d ，a u b e r t n 引， p a r a g i o s ，a n dd e r i c h e 4 1 ，b r o x ，w e i c k e r t n 钉在以后的改进中继续使用上述 同样的多水平集函数分割方案，但s a m s o ne ta ln 3 3 用于分段图像分类， p a r a g i o se ta l u 们基于测地主动区域模型，b r o xe ta l 5 1 基于最小化b a y e s 误 差。v e s e ，c h a n ( v - c ) n 印采用个水平集函数来划分2 个区域，是对无梯度 主动轮廓线模型进行了多相的推广，v e s e n 也采用 1 6 中所提出的水平集划分 方法，实现了分段光滑的图像的多相图像分割，针对传统的分段常值的图像分 割，以简化的m u m f o r d - s h a h 模型为基础，l i e ，l y s a k e r ，t a i n 8 1 设计实现了 用一个分段常值的水平集函数来分割图像，l i e ，l y s a k e r ，a n dt a i n 们设计 了二进制水平集模型，同样为避免重叠和漏分情况发生，以上两种方法也需要 加如之相应的约束条件。而c h u n g ，v e s e 心们采用连续的水平集函数，用不同水 平集函数的水平线对应着图像分割中的各相的轮廓线。c r e m e r s ，s o c h e n ， s c h n o r r 1 采用v c 图像分割水平集函数，且设计实现了面向多对象识别的类 似于多相水平集函数的多相动态标记函数算法。m a n s o u r i ，m i t i c h e ，v a z q u e z 瞳通过最大后验估计得到每个区域的轮廓线耦合的演化方程，然后代入标准的 5 青岛人学硕十学位论文 水平集方程，每个区域对应着不同的水平集函数。 主动轮廓线运动模型在算法实现过程中对应着能量最速下降的 e u l e r l a g r a n g e 方程，运算实现的该方程的稳态解对应着对图像分割所获得 的结果，该方法在本质上是局部极小的。参数主动轮廓线模型主要基于区域的 力场原理设计的，而几何主动轮廓线模型的区域模型和基于先验形状的模型都 在一定程度上有助于克服模型收敛到局部极小。c h a n ，e s e d o g l u ，n i k o l o v a 瞳2 1 受经典的r o f 模型( r u d i n ，o s h e r ，f a t e m i 瞳3 1 ) 处理形状噪声的启发，该模型 又称t v 模型。借助t v 模的几何表达，将具l l 形式数据逼真度模的r o f 模 型和c - v 模型转化为凸极小值问题，然后通过简单的阈值运算取得原问题的 全局最小值。b r e s s o n ，e s e d o g l u ，v a n d e r g h e y n s t ，t h i r a n ，o s h e r 瞳 将该方 法推广到加权t v 模的r o f 模型( 数据逼真度为l 1 模) 、分段常值 m u m f o r d - s h a h 模型、分段光滑m u m f o r d - s h a h 模型。l e u n g ，o s h e r 瞳副基于l l 模数据逼真度项的r o f 模型提出了具有修复和两相除嘈功能的主动轮廓线全 局最小化模型。x u ，p r i n c e 心刚针对所提出的梯度矢量流模型的变分形式，基于 凸分析证明其对应的e u l e r l a g r a n g e 方程即为能量泛函取得最小值的充分 条件。a p p l e t o n ，t a l b o t 阳7 基于r i e m a n n i a n 空间中的测地轮廓线模型，使用 快速行进法( f a s tm a r c h i n gm e t h o d ) 确定全局最优分割，但在要分割的对象 内必须指定一约束参考点。k e r v r a n n ，t r u b u i l 心盯是在计算具有全局解特征的简 化模型极小值基础上确定最优等值线和图像的全局最优分割。 近2 0 年来，变分方法、水平集方法在平面上图像处理的理论和应用研究 中取得了巨大的成功，并成为图像扩散、图像修复、图像分割、光流计算、三 维重建等的主流方法之一。变分水平集方法u 2 1 是变分方法和水平集方法的完 美结合，具备变分方法在图像处理通用数学模型建立方面的优点和水平集方法 旧1 复杂拓扑结构表达的优势。2 0 0 1 年，b e r t a l m i 0 ，c h e n g ，o s h e ra n ds a p i r o 啪1 用零水平集表达处隐式曲面，建立了曲面上图像噪声去除的均匀扩散模型和 t v 模型乜引，拓展出隐式曲面上图像处理研究的新方向。 综上所述，近2 0 年来，变分方法、水平集方法在平面上的数字图像处理 研究中，无论在理论方面，还是各种现实应用，都取得了很多先进的成果，可 以说成就是巨大的，并成为图像扩散、图像修复、图像分割、光流计算、三维 重建等的主流方法之一。变分水平集方法n 2 1 是变分方法和水平集方法的完美结 合，具备变分方法在图像处理通用数学模型建立方面的优点和水平集方法阻1 复杂拓扑结构表达的优势。针对平面上的图像分割，在两相图像分割方面，以 6 第一章绪论 变分水平集方法为集成框架的几何主动轮廓线模型在多模型信息融合方面已 经取得了大量的科研成果。在多相图像自动分割方面的研究也有了一定的基 础，分割区域数量的自动确定、通用并高效简洁的水平集函数的设计、不同区 域分布模型的表达和融合、多先验形状模型的表达、多先验形状模型的自动标 记、纹理图像信息的融合、运动估计与运动信息的集成、集成化模型不同成分 权重的自适应调整、如何确定全局最优解、如何设计高效的数值方法以期满足 对象跟踪等这些以前在解决多相图像分割方面所遇到的需要解决的问题也已 经有了一些发展和思路，但在隐式曲面上的图像进行自动分割的研究才刚刚开 始，由于曲面上的图像和所在曲面的几何特征耦合在一起，平面上图像分割的 数学模型不能直接应用于曲面上的图像分割，所以对先前运用于平面数字图像 处理中各种模型和算法在隐式曲面上的实现的研究也就显得很有意义。 本文的研究主要是分析多相分割中的区域划分方法，空间曲线的运动演 化，隐式雌面上多相分段光滑图像分割的模型表达以及算法的实现，并给出相 应的数值差分格式。 1 4 论文的主要工作内容与章节组织 针对隐式曲面上图像分割的现实应用需要，本文根据v e s e c h a n 提出的区 域竞争策略，在平面上分段光滑图像分割模型的基础上，分析隐式曲面上图像 的结构特征与空间曲面的演化理论，建立了隐式曲面上分段光滑图像的多相分 割通用的模型，并对与其相关的各种问题进行了研究和探讨。 本文研究的目的是实现隐式曲面上多相的分段光滑图像的分割，设定隐式 曲面与另一个动态水平集的零水平集面的交线为分割线，运用v e s e c h a n 用 个水平集函数划分2 个区域的区域竞争策略，建立隐式曲面上多相的分段光 滑的图像分割的能量泛函，然后采用变分方法得到水平集函数演化的梯度降方 程，并对得到的演化方程采用一般的显式差分格式进行离散求解和数值算例验 证。 论文的章节组织结构如下： 第一章介绍了论文研究的背景及其意义、基于图像分割方法的研究现状， 并介绍本文的主要研究内容和创新点。 第二章主要介绍了隐式曲面上图像分割所需要的背景知识，包括隐式曲面 上图像的定义，隐式曲面上空间曲线的表达和运动，内蕴梯度算子的定义，为 7 青岛人学硕十学位论文 后面本文所提出的隐式曲面的图像分割模型做铺挚。 第三章首先介绍了平面分段光滑图像分割的模型，然后分析讨论了多相图 像分割的区域竞争策略和基于区域的参数估计模型。 第四章在前面介绍的工作基础上，提出了隐式曲面上分段光滑的多相图像 分割的通用模型，并编程实现了结果验证。 第五章是总结和展望，对本文的主要工作进行总结，并分析指出了下一步 研究的重点以及发展趋势。 8 第二章隐式曲面上图像处理基础 第二章隐式曲面上图像处理基础 2 1 隐式曲面上的图像定义 平面图像在学术意思上有很多种定义，但在传统意义上可以概括平面图像 为以下二种定义，第一种是把一个平面图像看成是一个定义在平面上的矩形区 域的二维函数f ( x , y ) ，其中石和y 表示空间坐标，而对于任何( 石，y ) 坐标的函 数值叫做那一点的灰度值，第二种是通过离散计算方法对图像区域离散化之后 把平面图像看成一个二维的矩阵，图像的灰度值就是矩阵的元素。基于变分方 法与偏微分方程方法的平面数字图像处理技术采用了以上的第一种定义。而之 前出现的很多比较经典的方法，诸如离散d c t 变换，f o u r i e r 变换，以及数值 代数等，均采用的是以上第二种平面图像定义。第二种定义比第一种定义在理 解和使用起来更加通俗方便。实际上，在运用过程中只有在变分过程以及p d e 推导过程才是于基第一种定义来实现的，对p d e 进行计算方法的数值离散之 后，现实的计算过程中，仍然是在离散化的其定义的区域中进行的，因此第二 种定义的优点仍然可以显现在这个方面。 隐式曲面上的图像是平面图像的一种延拓。隐式曲面上图像的定义域一般 来说是一个连续的二维流形。只不过它的定义域不像平面上图像的定义域一样 是一个平坦的二维流，它的定义域是一个非平坦的二维流，但我们仍然可以像 平面图像的定义一样把隐式曲面上的图像看做是定义于区域上恒正且有上界 的函数，当然最好可以像平面图像第二种定义那样将隐式曲面离散化，得到一 个离散的曲面，也可以看做离散成一个网格曲面，但是考虑到在把隐式曲面离 散化成为一个网格化的曲面过程中，需要同时保证曲面的几何特性和网格离散 时的自动适应性以及保持图像的高分辨率性，这样的隐式曲面的离散化表示是 一个很困难的相当复杂的问题。因此我们不采用这种离散化的表示方式，而是 采用函数的方式把隐式曲面上的图像定义为一个定义域上的恒正有上界函数。 需要注意的是，函数值是恒正值并且有上界。具体来说，我们可以定义有一个 隐式曲面s ，为隐函数矽：r 3 专r 的零等值集。在s 的内部有矽 0 。其所谓的基于隐式曲面s 上的幅图像是指定义于其上的一个函数， 9 青岛人学硕十学位论文 厂= 厂( p ) = 厂( 工，j ，z ) i s 。同二维图像一样，隐式i t t i 面上的图像也是通过各种观 测物理仪器获得的，存在很多比如损坏，噪声等问题，或者需要提取感兴趣的 部分进行进一步的研究，由此隐式曲面上的各种图像处理便是针对曲面厂中需 要解决的各类问题提出相应的自动的适应性算法。 2 2 隐式曲面上的内蕴梯度算子 在先i i 出现的基于变分水平集方法和偏微分方程技术的平面数字图像处 理中，我们常常需要用到平面图像函数的梯度，这是在该方法或者说该流派中 起关键作用的物理量。在欧氏空间中，梯度算子这个物理量具有表现一致性这 个特性，它使得无论维数几何，变分水平集方法的图像处理技术与平面图像处 理技术是通用而且一致的。但对于隐式曲面，它的几何形态其实是一个非平坦 流形，其上的梯度算子不再像欧氏空间下平面中的情况那样简单。为了方便能 量泛函求变分的过程。由于欧氏空间中的梯度算子的表现一致性，我们在隐式 曲面所在的三维欧氏空间中利用投影算子将三维空间中的梯度向量投影到隐 式曲面在该点处的切平面上。这是下面给出隐式曲面上的梯度算子即内蕴梯度 算子的定义。 首先定义一个投影算子。令；是一个三维空间中的矢量，定义算子 驴卜莆斗膏； 2 _ ( 1 ) 例2例2 其中的u 是三维欧氏空间中向量的点乘运算。当该算子作用到一个三维矢 量的时候，将被作用的矢量投影到一个垂直于矢量云的平面上。由于归一化的 作用，显而易见有；= 乞，其中七是任意非零常数。接着，我们便可定义隐式 曲面s 上的内蕴梯度算子。我们希望内蕴梯度算子作用到一个函数上时，将这 个函数在三维欧氏空间中的梯度向量( 即通常意义下的梯度) 投影到隐式曲面 上该点处的切平面上。因此，定义 v 车岛v u = 白v 甜 2 一( 2 ) 为曲面s 上的函数“的内蕴梯度( i n t r i n s i cg r a d i e n t ) ，其中是曲面s 的法 1 0 第二章隐式曲面上图像处理基础 向量，y 为通常的欧氏空间中的梯度算子。这里我们用到了隐式曲面的几何性 质一n 平行于v 。算子v s = 岛v = 乓一v 一，e 隐式曲面s 上的内蕴梯度算子。显 然，v s 与曲面s 的表达方式( 即隐函数的选取) 无关，因为不管如何选择， 曲面s 的法向是不变的。c h e n g d 叩具体阐述了v s 的有关性质。 2 3 空间曲线的运动表达 变分水平集方法可以成功的应用于很多领域，c h e n g 对空间曲线的表达 过程与空间运动做了充分的研究，并且结合水平集方法，为空间曲线运动的算 法应用于变分法做出了基础性的研究。它的理论为我们研究隐式曲面上曲线动 态的运动提供了很好的支持作用。 我们结合水平集简单说明一下空间曲线的运动，本文假设矽和缈分别为两 个四维的水平集函数，它们的零水平集函数分别可以表示为矽= 0 和y = o ，从 水平集的物理意义上来说上述矽= 0 和沙= o 两个零水平集函数可以分别表示一 个三维闭合曲面，空间中的两个闭合曲面的相交会产生一条空间曲线，这条空 间的曲线就是我们可以应用于图像分割中的分割线，然后，对矽与沙分别求偏 微分方程可以分别得到谚+ 佃矽= 0 ，+ 佃沙= 0 。将这两个偏微分方程结合 在一起，就是表示空间曲线以速度y 运动的偏微分方程，如下所示： 妻嚣0 2 咱， 【+ 刃y = 一 基于水平集的空间曲线的产生过程如下图2 1 所示，其中图( f 1 ) 是四维水平 集 c ，的零水平集面= o 表示的一个圆柱表面，同理，图( b ) 显示的是四维水平 集是矽的零水平集面= o 表示的一个球面，图( c ) 是两个面矽= 0 和沙= o 所表示 的球面和圆柱表面相交而产生的一条闭合空间曲线。在显示的时候，也可以通 过调整显示函数只显示y = o 这个圆柱表面和两个零水平集面少= 0 ，= 0 相交 青岛人学硕士学位论文 所获得空间曲线，而不显示球面，则如图( d ) 所示，这就形象表示了一个圆柱 曲面及其其上的分割线。关于隐式曲面上的图像分割的研究简单来说也就是如 何使圆柱曲面上的空间曲线对圆柱表面上的图像进行分割运动的问题。 一 第二章隐式曲面上图像处理基础 2 4 本章小结 本章主要是介绍了与隐式曲面上图像处理相关的基本知识，对比介绍了平 面图像与隐式曲面上图像的定义，概括说明了内蕴梯度算子的相关定义，并介 绍了空间曲线在三维空间中的运动与表达的理论，为我们下边介绍的隐式曲面 上的图像分割做了相关背景知识的铺挚。 青岛人学硕十学位论文 第三章平面上的图像分割模型 3 1 平面上分段光滑图像分割模型 3 1 1m u m f o r d - s h a h 模型 m u m f o r d s h a h 模型的提出，使得变分方法被系统的展现在人们面前，该模型 i 主l m u m f o r d 和s h a h 2 1 于1 9 8 9 年提出，此后一直被广泛学习和改进，是当时一种比 较理想的平面图像分割模型。该模型包含了图像区域分割( 即目标检测) 、去噪( 即 平滑化处理) 以及图像重建这三个问题统一在一个广义能量泛函里面，然后通过求 解的这个能量泛函的最小值来解决。 i “n f f 腑( “，c ) = n 一1 2 出+ c i v “1 2 出+ 叫：扭1 ) 3 一( 1 ) 式3 一( 1 ) 中，q 是图像定义域，是原始图像，c 是边缘的连续封闭曲线近 似，“是的最优分段光滑近似，且“仅在q c 处是光滑的，y 为加权系数， 日1 是一维h a u s d o r f f i 9 1 1 度。在式3 一( 1 ) 中，第一项是数据项，第二项是光滑项，第 三项是长度规整项。 通过求解3 一( 1 ) 式的最小值问题，不仅可以进行图像分割、噪声去除和图像重 建，而且在进行图像分割之前不必先进行噪声去除，同时，该模型不依赖于图像 的梯度等边界信息，因而对具有弱边界的图像也能进行分割。 如果假定最优分段光滑近似图像“为分段常值，即在q c 的每个连通子区域 q ，内，“= ( 常数) ，就可以得到式3 一( 2 ) 所示的最小分割问题，且对给定的闭集 c ( 一般由多条曲线组成) ，使式3 一( 2 ) 成立的为在q ；内的平均值。 i 蚺n f f o 腑( 们) 5 ；廿一1 2 出杪扭1 ) 3 吨) 1 4 第二章平面上的图像分割模型 由于一维的图像边缘c 未知，且这些最小值问题均为非凸的，因而很难找到 问题3 一( 1 ) 和3 一( 2 ) 的全局最小解。m a s o 。蚺1 提出了“弱解 问题，即将c 限定为甜 的全体跳跃点的集合；k o e p f l e r 口们对问题3 一( 2 ) 提出了一种基于区域增长与融合 的多尺度算法。一般情况下，最小值问题3 一( 1 ) 的全局最优解或“弱解 都不是 唯一的，a m b r o s i o 昭5 1 提出了两种“弱解 的椭圆逼近，它们r 一收敛到最小值问题 3 一( 1 ) 的弱解。 3 1 2 改进的m u m f o r d - s h a h 模型 m u m f o r d - s h a h 模型是一个理想的图像分割模型，在具体的求解中存在较大难 度。众多学者分别提出了简化的m u m f o r d s h a h 模型，目前，对于简化的 m u m f o r d s h a h 模型的应用研究存在两大流派，一种是a m b r o s i o 嘶1 提出的基于椭 圆逼近的辅助变量模型，另一种是c h a n 和v e s e 提出的基于简化m - s 模型和水平 集方法相结合的方法，即通常所称的c v 方法汹1 。 c - v 方法将m u m f o r d - s h a h 模型能量泛函的数据光滑项省略掉，保留了数据项 和规整项。假设图像u ( x , y ) 定义在q 上，其演化曲线c 是q 的一个子集缈的边界， 即c = a 国。设原图像u ( x ，y ) 被某一闭合活动轮廓线c 划分为内部区域i n s i d e ( c ) 和 外部区域o u 8 i d e ( c ) 两个同质区域，其能量泛函可写成： f ( c ) = 互( c ) + e ( c ) = l i d e y ) 一嵋1 2 撕+ l i “( w h l 2 螂 3 一3 其中u 。，鸭是常值，分别表示曲线c 内部区域和外部区域的平均灰度。当 c = c o ( c o 为被分割区域的边界) 时，式3 一( 3 ) 可以取得最小值。 从下图3 1 我们可以看出，当轮廓线正好设定在图像现实的边界时，这个时 候c = c o ，上述的能量函数f ( o 正好到最小值。 青岛人学硕十学位论文 鼻( c ) o ，e ( 6 3 0 ，( c ) 0 曩( c ) 0 e ( 6 3 0 ，( 6 3 0 彰缈嬲缪獭孵码