高中数学 212 求曲线的方程课件 新人教A版选修21.ppt

第二章圆锥曲线与方程 2 1曲线与方程2 1 2求曲线的方程 1 掌握求曲线方程的方法步骤 2 了解解析法的思想 体验用坐标法研究几何问题的方法与过程 3 培养数形结合的能力 新知视界1 坐标法与解析几何借助于坐标系 用坐标表示点 把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹 用曲线上点的坐标 x y 所满足的方程f x y 0表示曲线 通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质 这就是坐标法 数学中 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何 2 平面解析几何研究的主要问题是 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过方程 研究平面曲线的性质 3 求曲线 图形 的方程 有下面几个步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任意一点的坐标 2 写出适合条件的点的集合 3 用坐标表示条件 列出方程f x y 0 4 化简方程f x y 0 5 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 一般地 步骤 5 可以省略不写 如有特殊情况 可以适当说明 另外也可以省略 2 直接列出曲线方程 尝试应用1 动点p到点 1 2 的距离为3 则动点p的轨迹方程为 a x 1 2 y 2 2 9b x 1 2 y 2 2 9c x 1 2 y 2 2 3d x 1 2 y 2 2 3 解析 由题意知 点p的轨迹满足圆的定义 圆心为 1 2 半径为3 所以方程为 x 1 2 y 2 2 9 答案 b 2 已知在直角坐标系中一点a 3 1 一条直线l x 1 平面内一动点p 点p到点a的距离与到直线l的距离相等 则点p的轨迹方程是 a y 1 2 8 x 1 b y 1 2 8 x 1 c y 1 2 8 x 1 d y 1 2 8 x 1 解析 设点p的坐标为 x y 则 x 3 2 y 1 2 x 1 2 化简整理 得 y 1 2 8 x 1 故应选d 答案 d 3 abc的顶点坐标分别为a 4 3 b 2 1 c 5 7 则ab边上的中线的方程为 答案 3x 2y 1 0 1 x 5 4 到a 2 3 和b 4 1 的距离相等的点的轨迹方程是 解析 动点的轨迹是线段ab的垂直平分线 答案 x y 1 0 5 动点p在曲线y 2x2 1上运动 求点p与定点 0 1 连线的中点m的轨迹方程 典例精析类型一直接法求曲线方程 例1 abc的顶点a固定 角a的对边bc的长是2a 边bc上的高的长是b 边bc沿一条定直线移动 求 abc外心的轨迹方程 分析 首先建立直角坐标系 因bc在一条定直线上移动 故可选此定直线为x轴 过a点且垂直于x轴的直线为y轴 另外 外心到三角形三个顶点的距离相等 利用这个等量关系就可以得出 abc外心的轨迹方程 解 如图1 以bc所在的定直线为x轴 以过a点与x轴垂直的直线为y轴 建立直角坐标系 则a点的坐标为 0 b 设 abc的外心为m x y 作mn bc于n 则直线mn是bc的垂直平分线 点评 1 解本题的关键是建立适当的直角坐标系 充分利用三角形外心的性质 易错处是用 bm cm 列方程 而化简后会发现得到的是一个恒等式 原因是在求 bm 的长时已利用了 bm cm 这个等量关系 2 对于本题 在建立直角坐标系时 也可以把bc边所在的定直线作为y轴 过a点与定直线垂直的直线作为x轴 此时方程将有所变化 迁移体验1一个动点到直线x 8的距离是它到点a 2 0 的距离的2倍 求该动点的轨迹方程 类型二定义法求曲线方程 例2 已知圆c x2 y 3 2 9 过原点作圆c的弦op 求op中点q的轨迹方程 分析 关键是寻找q点满足的几何条件 可以考虑圆的几何性质 如cq op 还可考虑q是op的中点 迁移体验2定长为6的线段 其端点a b分别在x轴 y轴上移动 线段ab的中点为m 求m点的轨迹方程 类型三相关点法求曲线方程 例3 已知 abc的两顶点a b的坐标分别为a 0 0 b 6 0 顶点c在曲线y x2 3上运动 求 abc重心的轨迹方程 分析 由重心坐标公式 可知 abc的重心坐标可以由a b c三点的坐标表示出来 而a b是定点 且c在曲线y x2 3上运动 故重心与c相关联 因此 设出重心与c点坐标 找出它们之间的关系 代入曲线方程y x2 3即可 点评 1 本例是求轨迹方程中的常见题型 难度适中 本题解法称为代入法 或相关点法 此法适用于已知一动点的轨迹方程 求另一动点的轨迹方程的问题 2 应注意的是 本例中曲线y x2 3上没有与a b共线的点 因此 整理方程 就得到轨迹方程 若曲线方程为y x2 3 则应去掉与a b共线时所对应的重心坐标 类型四求曲线方程的综合应用 例4 在平面直角坐标系中 a a 0 b a 0 pa pb 其中a 0且 0 求动点p的轨迹方程 并说明轨迹的类型 迁移体验4已知sin cos 是方程x2 ax b 0的两根 求p a b 的轨迹方程 思悟升华1 求曲线方程中应注意的问题求曲线方程时 1 在第一步中 如果原题中没有确定坐标系 首先选取适当的坐标系 通常选取特殊位置为原点 相互垂直的直线为坐标轴 建立适当的坐标系 会给运算带来方便 2 第二步是求方程的重要一环 要仔细分析曲线的特征 注意揭示隐含条件 抓住与曲线上任意一点m有关的等量关系 列出几何等式 此步骤也可以省略 而直接将几何条件用动点的坐标表示 3 在化简的过程中 注意运算的合理性与准确性 尽量避免 失解 或 增解 4 第五步的说明可以省略不写 若有特殊情况 可以适当说明 如某些点虽然其坐标满足方程 但不在曲线上 可以通过限定方程x 或y 的取值予以剔除 2 求曲线方程的常用方法 1 直接法 建立适当的坐标系后 设动点为 x y 根据几何条件寻求x y之间的关系式 2 定义法 如果所给几何条件正好符合圆等曲线的定义 则可直接利用这些已知曲