高考数学一轮总复习 第2节 直线与圆的位置关系课件（选修41）.ppt

选修4 1几何证明 选讲 第2节直线与圆的位置关系 1 会证明并应用圆周角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 2 会证明并应用相交弦定理 圆内接四边形的性质定理与判定定理 切割线定理 要点梳理 1 圆周角定理 圆心角定理 弦切角定理 1 圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半 2 圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的 推论1 同弧或等弧所对的 相等 同圆或等圆中 相等的 所对的弧也相等 圆心角 度数 圆周角 圆周角 考点自主回扣 推论2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 3 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的 推论 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半 直角 直径 圆周角 2 圆内接四边形的判定定理和性质定理 互补 内角的对角 互补 对角 3 圆的切线 外端 垂直于 垂直于 切点 圆心 4 直线与圆位置关系的有关定理 比例中项 积 积 切线长 基础自测 1 给出下列命题 圆心角等于圆周角的2倍 相等的圆周角所对的弧也相等 等腰梯形一定有外接圆 弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数 在圆内接四边形abcd中 a b c d m n p q 则有m p n q 其中错误的是 a b c d 解析 错误 若弧不一样 则圆心角与圆周角的关系不确定 错误 只有同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧才相等 正确 可以推出等腰梯形的对角互补 所以有外接圆 错误 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数 所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍 正确 圆内接四边形abcd的对角互补 答案 b 2 如图所示 点a b c是圆o上的点 且ab 4 acb 30 则 o的面积为 a 4 b 8 c 12 d 16 解析 连接oa ob acb 30 aob 60 又 oa ob aob为等边三角形 而ab 4 oa ob 4 故圆o的面积为s 42 16 答案 d 3 圆内接四边形abcd中 a 60 b 90 ad 4 cd 3 则bc等于 5 2013 重庆高考 如图所示 在 abc中 acb 90 a 60 ab 20 过c作 abc的外接圆的切线cd bd cd bd与外接圆交于点e 则de的长为 考向一圆周角 圆心角 弦切角和圆的切线问题例1 2013 新课标高考全国卷 如图 直线ab为圆的切线 切点为b 点c在圆上 abc的角平分线be交圆于点e db垂直be交圆于点d 考向互动探究 思路点拨 1 根据角平分线的性质和弦切角定理得到be ce 结合已知db be 从而得到de为直径 进而利用勾股定理证明两线段相等 2 根据圆的切线ab及 1 的结论可以确定 bcf的形状 从而确定其外接圆的直径 求其半径 1 证明 连接de 交bc于点g 由弦切角定理得 abe bce 而 abe cbe 故 cbe bce be ce 又db be 所以de为直径 则 dce 90 由勾股定理可得db dc 拓展提高涉及圆的切线问题时常常利用弦切角定理实现弦切角与圆周角的相互转化 利用圆周角 圆心角定理及其推论实现圆周角 圆心角及所对弧的度数之间的相互转化 活学活用1 2014 辽宁高考 如图所示 ep交圆于e c两点 pd切圆于d g为ce上一点且pg pd 连接dg并延长交圆于点a 作弦ab垂直ep 垂足为f 1 求证 ab为圆的直径 2 若ac bd 求证 ab ed 2 连接bc dc 由于ab是直径 故 bda acb 90 在rt bda与rt acb中 ab ba ac bd 从而rt bda rt acb 于是 dab cba 又因为 dcb dab 所以 dcb cba 故dc ab 由于ab ep 所以dc ep dce为直角 于是ed为直径 由 1 得ed ab 考向二四点共圆问题例2 2013 新课标高考全国卷 如图 cd为 abc外接圆的切线 ab的延长线交直线cd于点d e f分别为弦ab与弦ac上的点 且bc ae dc af b e f c四点共圆 1 证明 ca是 abc外接圆的直径 2 若db be ea 求过b e f c四点的圆的面积与 abc外接圆面积的比值 思路点拨 1 先利用弦切角定理得 dcb a 然后利用三角形相似证明 dbc efa 从而利用四点共圆的条件得出 cba 90 证得结论 2 根据条件确定过b e f c四点的圆的直径及cd与ce的关系 rt acd中利用射影定理用db表示ca 再用切割线定理用db表示dc2 从而得到两圆面积之比 互动探究本题中已知条件不变 证明 dc ef 证明 由例知 ef ac 且ca是 abc外接圆的直径 又dc是圆的切线 所以dc ac 所以dc ef 拓展提高圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理 使用时要注意观察图形 要弄清四边形的外角和它的内对角的位置 其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据 解题时要注意相关角的定理的灵活应用 活学活用2 2014 唐山模拟 如图 ab为圆o的直径 cd为垂直于ab的一条弦 垂足为e 弦bm与cd交于点f 1 证明 a e f m四点共圆 2 证明 ac2 bf bm ab2 所以 amb aef 180 即a e f m四点共圆 2 连接cb 由a e f m四点共圆 所以bf bm be ba 在rt acb中 bc2 be ba ac2 bc2 ab2 所以ac2 bf bm ab2 考向三与圆有关的比例线段例3 2014 太原模拟 如图 ab是圆o的直径 m为圆上一点 me ab 垂足为e 点c为圆o上任一点 ac em交于点d bc交de于点f 求证 1 ae ed fe eb 2 em2 ed ef 思路点拨 1 利用相似三角形证明 2 利用相交弦定理证明 证明 1 因为me ab 所以 b 90 bfe d 所以 aed feb 所以ae ed fe eb 2 延长me与 o交于点n 由相交弦定理 得em en ea eb 且em en 所以em2 ea eb 结合 1 知em2 ed ef 拓展提高证明与圆有关的比例线段 常用到三角形相似 相交弦定理 割线定理以及切割线定理等 同时要注意圆的有关性质 直角三角形中的射影定理 角平分线的性质的灵活运用 活学活用3 2014 新课标高考全国卷 如图 p是 o外一点 pa是切线 a为切点 割线pbc与 o相交于点b c pc 2pa d为pc的中点 ad的延长线交 o于点e 证明 1 be ec 2 ad de 2pb2 证明 1 连结ab ac 由题设知pa pd 故 pad pda 因为 pda dac dca pad bad pab dca pab 所以 dac bad 规范答题13几何证明问题典例 本小题满分10分 如图 d e分别为 abc边ab ac的中点 直线de交 abc的外接圆于f g两点 若cf ab 证明 1 cd bc 2 bcd gbd 考能感悟提升 思路点拨 1 连接af 利用平行关系构造平行四边形可得结论 2 先证 bcd和 gbd为等腰三角形 再证明两三角形顶角相等即可 满分展示 证明 1 因为d e分别为ab ac的中点 所以de bc 又已知cf ab 故四边形bcfd是平行四边形 所以cf bd ad 而cf ad 连接af 所以四边形adcf是平行四边形 故cd af 5分 因为cf ab 所以bc af 故cd bc 6分 2 因为fg bc 故gb cf 由 1 可知bd cf 所以gb bd 所以 bgd bdg 8分 由bc cd知 cbd cdb 又因为 dgb efc dbc 所以 bcd gbd 10分 答题模板 处理与圆有关的比例线段的常见思路 1 利用圆的有关定理 2 利用相似三角形 3 利用平行线分线段成比例定理及推论 4 利用面积关系等 提醒 1 解决几何证明问题需用各种判定定理 性质定理 推理和现有的结论 要熟悉各种图形的特征 利用好平行 垂直 相似 全等的关系 适当添加辅助线和辅助图形 这些知识都有利于问题的解决 2 证明等积式时 通常转化为证明比例式 再证明四条线段所在的三角形相似 另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明 3 弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据 解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角 4 圆内接四边形的性质也要熟练掌握 利用该性质可得到角相等 进而为三角形的相似创造了条件 即时突破 2014 新课标高考全国卷 如图 四边形abcd是 o的内接四边形 ab的延长线与dc的延长线交于点e 且cb ce 1 证明 d e 2 设ad不是 o的直径 ad的中点为m 且mb mc 证明 ade为等边三角形 证明 1 由题设知a b c d四点共圆 所以 d cbe 由已知得 cbe e 故 d e 2 设bc的中点为n 连接mn 则由mb mc知mn bc 故o在直线mn上 又ad不是 o的直径 m为ad的中点 故om ad 即mn ad 所以ad bc 故 a cbe 又 cbe e 故 a e 由 1 知 d e 所以 ade为等边三角形 思维升华 方法与技巧 1 圆是轴对称图形 利用这一点可研究垂径定理和圆心角 弧 弦 弦心距的关系定理 关系定理使我们在圆心角 弧 弦 弦心距的证明中得以相互转化 垂径定理又可与等腰三角形的性质定理相沟通 2 直线和圆的相切的位置关系 以及由它引伸出来的一系列知识 如切线长定理 弦切角定理和圆有关的比例线段定理是本节的重点 利用上述定理可很方便地证明角相等 线段相等以及线段的比例问题 3 处理与圆有关的比例线段的常见思路 1 利用相似三角形 2 利用圆的有关定理 3 利用平行线分线段成比例定理及推论 4 利用面积关系等 4 在涉及两圆的公共弦时 通常是作出两圆的公共弦 如果有过公共点的切线就可以使用弦