高考数学大一轮复习 8.1空间几何体及其表面积、体积课件 理 苏教版.ppt

8 1空间几何体及其表面积 体积 第八章立体几何 数学苏 理 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 思想方法 感悟提高 练出高分 1 空间几何体的结构特征 平行且相等 全等 相似 矩形 直角边 直角腰 直径 2 柱 锥 台和球的表面积和体积 sh sh 4 r2 r3 3 空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用画法 基本步骤 1 在已知图形中取互相垂直的x轴 y轴 两轴相交于点o 画直观图时 把它们画成对应的x 轴 y 轴 两轴相交于点o 且使 x o y 2 已知图形中平行于x轴 y轴的线段 在直观图中分别平行于 斜二测 45 或135 x 轴 y 轴 3 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中长度平行于y轴的线段 长度变为 4 在已知图形中过o点作z轴垂直于xoy平面 在直观图中对应的z 轴也垂直于x o y 平面 已知图形中平行于z轴的线段 在直观图中仍平行于z 轴且长度 保持不变 原来的一半 不变 思考辨析 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 2 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 3 用斜二测画法画水平放置的 a时 若 a的两边分别平行于x轴和y轴 且 a 90 则在直观图中 a 45 4 圆柱的侧面展开图是矩形 5 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算 2 解析 由斜二测画法 知直观图是边长为1的正三角形 例1给出下列命题 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 则其三个侧面也两两垂直 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 存在每个面都是直角三角形的四面体 棱台的侧棱延长后交于一点 其中正确命题的序号是 题型一空间几何体的结构特征 例1给出下列命题 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 则其三个侧面也两两垂直 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 存在每个面都是直角三角形的四面体 棱台的侧棱延长后交于一点 其中正确命题的序号是 题型一空间几何体的结构特征 解析 不正确 根据棱柱的定义 棱柱的各个侧面都是平行四边形 但不一定全等 正确 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角 正确 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱 又垂直于底面 例1给出下列命题 棱柱的侧棱都相等 侧面都是全等的平行四边形 若三棱锥的三条侧棱两两垂直 则其三个侧面也两两垂直 若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 存在每个面都是直角三角形的四面体 棱台的侧棱延长后交于一点 其中正确命题的序号是 题型一空间几何体的结构特征 正确 如图 正方体ac1中的三棱锥c1 abc 四个面都是直角三角形 正确 由棱台的概念可知 答案 思维升华 1 解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义 真正把握几何体的结构特征 可以根据条件构建几何模型 在几何模型中进行判断 2 解决本类题目的技巧 三棱柱 四棱柱 三棱锥 四棱锥是常用的几何模型 有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析 跟踪训练1给出下列命题 在圆柱的上 下底面的圆周上各取一点 则这两点的连线是圆柱的母线 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体是棱锥 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 棱台的上 下底面可以不相似 但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是 解析 不一定 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线 不一定 因为 其余各面都是三角形 并不等价于 其余各面都是有一个公共顶点的三角形 如图1所示 图1 不一定 当以斜边所在直线为旋转轴时 其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥 如图2所示 它是由两个同底圆锥组成的几何体 图2 错误 棱台的上 下底面相似且是对应边平行的多边形 各侧棱延长线交于一点 但是侧棱长不一定相等 答案0个 题型二几何体的直观图 例2 1 关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为 直角三角形的直观图仍是直角三角形 梯形的直观图是平行四边形 正方形的直观图是菱形 平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析 答案 思维升华 题型二几何体的直观图 例2 1 关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为 直角三角形的直观图仍是直角三角形 梯形的直观图是平行四边形 正方形的直观图是菱形 平行四边形的直观图仍是平行四边形 由斜二测画法规则可知 平行于y轴的线段长度减半 直角坐标系变成了斜坐标系 而平行性没有改变 因此 只有 正确 解析 答案 思维升华 题型二几何体的直观图 例2 1 关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为 直角三角形的直观图仍是直角三角形 梯形的直观图是平行四边形 正方形的直观图是菱形 平行四边形的直观图仍是平行四边形 由斜二测画法规则可知 平行于y轴的线段长度减半 直角坐标系变成了斜坐标系 而平行性没有改变 因此 只有 正确 解析 答案 思维升华 题型二几何体的直观图 例2 1 关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为 直角三角形的直观图仍是直角三角形 梯形的直观图是平行四边形 正方形的直观图是菱形 平行四边形的直观图仍是平行四边形 解决有关 斜二侧画法 问题时 一般在已知图形中建立直角坐标系 尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴 图形的对称中心为原点 注意两个图形中关键线段长度的关系 解析 答案 思维升华 解析 答案 思维升华 例2 2 正三角形aob的边长为a 建立如图所示的直角坐标系xoy 则它的直观图的面积是 画出坐标系x o y 作出 oab的直观图o a b 如图 d 为o a 的中点 例2 2 正三角形aob的边长为a 建立如图所示的直角坐标系xoy 则它的直观图的面积是 解析 答案 思维升华 易知d b db d为oa的中点 例2 2 正三角形aob的边长为a 建立如图所示的直角坐标系xoy 则它的直观图的面积是 解析 答案 思维升华 例2 2 正三角形aob的边长为a 建立如图所示的直角坐标系xoy 则它的直观图的面积是 易知d b db d为oa的中点 解析 答案 思维升华 解决有关 斜二侧画法 问题时 一般在已知图形中建立直角坐标系 尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴 图形的对称中心为原点 注意两个图形中关键线段长度的关系 例2 2 正三角形aob的边长为a 建立如图所示的直角坐标系xoy 则它的直观图的面积是 解析 答案 思维升华 跟踪训练2 1 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图 结果为如图所示的一个正方形 则原来的平面图形为 解析平面图形的直观图为正方形 且其边长为1 对角线长为 所以原平面图形为平行四边形 且位于x轴上的边长仍为1 位于y轴上的对角线长为2 答案 2 如图 矩形o a b c 是水平放置的一个平面图形的直观图 其中o a 6cm o c 2cm 则原图形的形状为 cd c d 2cm 2 如图 矩形o a b c 是水平放置的一个平面图形的直观图 其中o a 6cm o c 2cm 则原图形的形状为 oa oc 故四边形oabc是菱形 菱形 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 解设正方体的棱长为a 正方体的内切球球心是正方体的中心 切点是六个面的中心 经过四个切点及球心作截面如图 所示 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 有2r1 a 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点 过球心作正方体的对角面得截面如图 所示 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 正方体的各顶点在球面上 过球心作正方体的对角面得截面如图 所示 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 综上可得 s1 s2 s3 1 2 3 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 1 解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 2 在求多面体的侧面积时 应对每一侧面分别求解后再相加 对于组合体的表面积应注意重合部分的处理 解析 思维升华 题型三空间几何体的表面积 例3有三个球 第一个球内切于正方体 第二个球与这个正方体各条棱相切 第三个球过这个正方体的各个顶点 求这三个球的表面积之比 3 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 解析 思维升华 解析 思维升华 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 解如图 过a 作a d 平面abc于d 过d作de ab于e df ac于f 连结a e a f ad 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 解析 思维升华 则由 a ae a af aa aa 得rt a ae rt a af a e a f de df ad平分 bac 又 ab ac 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 解析 思维升华 bc ad bc aa 而aa bb bc bb 四边形bcc b 是矩形 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 斜三棱柱的侧面积为2 a bsin45 ab 1 ab 解析 思维升华 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 解析 思维升华 1 解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 解析 思维升华 2 在求多面体的侧面积时 应对每一侧面分别求解后再相加 对于组合体的表面积应注意重合部分的处理 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 解析 思维升华 3 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 例3 2 如图 斜三棱柱abc a b c 中 底面是边长为a的正三角形 侧棱长为b 侧棱aa 与底面相邻两边ab与ac都成45 角 求此斜三棱柱的表面积 解析 思维升华 跟踪训练3一个正三棱台的上 下底面边长分别是3cm和6cm 高是cm 1 求三棱台的斜高 解设o1 o分别为正三棱台abc a1b1c1的上 下底面正三角形的中心 如图所示 od bc 则d1d为三棱台的斜高 跟踪训练3一个正三棱台的上 下底面边长分别是3cm和6cm 高是cm 1 求三棱台的斜高 跟踪训练3一个正三棱台的上 下底面边长分别是3cm和6cm 高是cm 1 求三棱台的斜高 2 求三棱台的侧面积和表面积 2 求三棱台的侧面积和表面积 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 思维点拨 解析 思维升华 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 思路一 先求出四棱锥c1 b1edf的高及其底面积 再利用棱锥的体积公式求出其体积 思路二 先将四棱锥c1 b1edf化为两个三棱锥b1 c1ef与d c1ef 再求四棱锥c1 b1edf的体积 思维点拨 解析 思维升华 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 解方法一连结a1c1 b1d1交于点o1 连结b1d ef 过o1作o1h b1d于h ef a1c1 且a1c1 平面b1edf a1c1 平面b1edf 思维点拨 解析 思维升华 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 c1到平面b1edf的距离就是a1c1到平面b1edf的距离 平面b1d1d 平面b1edf 平面b1d1d 平面b1edf b1d 思维点拨 解析 思维升华 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 o1h 平面b1edf 即o1h为棱锥的高 b1o1h b1dd1 思维点拨 解析 思维升华 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 方法二连结ef b1d 设b1到平面c1ef的距离为h1 d到平面c1ef的距离为h2 思维点拨 解析 思维升华 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 由题意得 思维点拨 解析 思维升华 题型四空间几何体的体积 例4如图所示 已知e f分别是棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1的棱a1a cc1的中点 求四棱锥c1 b1edf的体积 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时 常常需要用到分割法 在求一个几何体被分成两部分的体积之比时 若有一部分为不规则几何体 则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积 思维点拨 解析 思维升华 跟踪训练4如图 在三棱柱a1b1c1 abc中 d e f分别是ab ac aa1的中点 设三棱锥f ade的体积为v1 三棱柱a1b1c1 abc的体积为v2 则v1 v2 1 24 思想与方法系列11转化思想在立体几何计算中的应用 规范解答 思维点拨 温馨提醒 典例 如图 在直棱柱abc a b c 中 底面是边长为3的等边三角形 aa 4 m为aa 的中点 p是bc上一点 且由p沿棱柱侧面经过棱cc 到m的最短路线长为 设这条最短路线与cc 的交点为n 求 1 该三棱柱的侧面展开图的对角线长 侧面展开图从哪里剪开展平 规范解答 思维点拨 温馨提醒 解该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形 规范解答 思维点拨 温馨提醒 1 解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是 展开 即将空间几何体的 面 展开后铺在一个平面上 将问题转化为平面上的最值问题 2 如果已知的空间几何体是多面体 则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开 把不在一个平面上的问题转化到一个平面上 规范解答 思维点拨 温馨提醒 如果是圆柱 圆锥则可沿母线展开 把曲面上的问题转化为平面上的问题 3 本题的易错点是 不知道从哪条侧棱剪开展平 不能正确地画出侧面展开图 缺乏空间图形向平面图形的转化意识 规范解答 思维点拨 温馨提醒 2 pc与nc的长 规范解答 思维点拨 温馨提醒 2 pc与nc的长 mn np最短在展开图上呈现怎样的形式 规范解答 思维点拨 温馨提醒 2 pc与nc的长 将该三棱柱的侧面沿棱bb 展开 如右图 设pc x 则mp2 ma2 ac x 2 x 2 即pc 2 规范解答 思维点拨 温馨提醒 2 pc与nc的长 规范解答 思维点拨 温馨提醒 1 解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是 展开 即将空间几何体的 面 展开后铺在一个平面上 将问题转化为平面上的最值问题 2 如果已知的空间几何体是多面体 则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开 把不在一个平面上的问题转化到一个平面上 2 pc与nc的长 规范解答 思维点拨 温馨提醒 2 pc与nc的长 如果是圆柱 圆锥则可沿母线展开 把曲面上的问题转化为平面上的问题 3 本题的易错点是 不知道从哪条侧棱剪开展平 不能正确地画出侧面展开图 缺乏空间图形向平面图形的转化意识 规范解答 思维点拨 温馨提醒 3 三棱锥c mnp的体积 规范解答 思维点拨 温馨提醒 三棱锥以谁做底好 3 三棱锥c mnp的体积 规范解答 思维点拨 温馨提醒 3 三棱锥c mnp的体积 在三棱锥m pcn中 m到面pcn的距离 规范解答 思维点拨 温馨提醒 1 解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是 展开 即将空间几何体的 面 展开后铺在一个平面上 将问题转化为平面上的最值问题 2 如果已知的空间几何体是多面体 则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开 把不在一个平面上的问题转化到一个平面上 3 三棱锥c mnp的体积 规范解答 思维点拨 温馨提醒 如果是圆柱 圆锥则可沿母线展开 把曲面上的问题转化为平面上的问题 3 本题的易错点是 不知道从哪条侧棱剪开展平 不能正确地画出侧面展开图 缺乏空间图形向平面图形的转化意识 3 三棱锥c mnp的体积 规范解答 思维点拨 温馨提醒 方法与技巧 1 棱柱 棱锥要掌握各部分的结构特征 计算问题往往转化到一个三角形中进行解决 旋转体要抓住 旋转 特点 弄清底面 侧面及展开图形状 2 要注意将空间问题转化为平面问题 3 求几何体的体积 要注意分割与补形 将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解 4 一些几何体表面上的最短距离问题 常常利用几何体的展开图解决 失误与防范 1 几何体展开 折叠问题 要抓住前后两个图形间的联系 找出其中的量的关系 2 与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定有关元素间的数量关系 并作出合适的截面图 如球内切于正方体 切点为正方体各个面的中心 正方体的棱长等于球的直径 球外接于正方体 正方体的顶点均在球面上 正方体的体对角线长等于球的直径 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 下列叙述中正确的个数是 相等的角 在直观图中仍相等 长度相等的线段 在直观图中长度仍相等 若两条线平行 在直观图中对应的线段仍平行 若两条线段垂直 则在直观图中对应的线段也互相垂直 全等的三角形的直观图仍全等 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 解析由斜二测画法知 正确 其余均错误 答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 五棱柱中 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线 那么一个五棱柱对角线的条数为 解析如图 在五棱柱abcde a1b1c1d1e1中 从顶点a出发的对角线有两条 ac1 ad1 同理从b c d e点出发的对角线均有两条 共2 5 10 条 10 3 2014 陕西改编 已知底面边长为1 侧棱长为的正四棱柱 底面是正方形的直棱柱 的各顶点均在同一个球面上 则该球的体积为 解析正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 e f分别为线段aa1 b1c上的点 则三棱锥d1 edf的体积为 解析 5 已知一个圆锥的展开图如图所示 其中扇形的圆心角为120 底面圆的半径为1 则该圆锥的体积为 解析因为扇形弧长为2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 6 已知三棱锥a bcd的所有棱长都为 则该三棱锥的外接球的表面积为 解析如图 构造正方体andm fbec 所以正方体andm fbec的棱长为1 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 易知三棱锥a bcd的外接球就是正方体andm fbec的外接球 答案3 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 7 如图所示 e f分别为正方体abcd a1b1c1d1的面add1a1 面bcc1b1的中心 则四边形bfd1e在该正方体的面dcc1d1上的投影是 填序号 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 解析四边形在面dcc1d1上的投影为 b在面dcc1d1上的投影为c f e在面dcc1d1上的投影应在边cc1与dd1上 而不在四边形的内部 故 错误 答案 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 8 如图所示 在边长为4的正方形纸片abcd中 ac与bd相交于o 剪去 aob 将剩余部分沿oc od折叠 使oa ob重合 则以a b c d o为顶点的四面体的体积为 解析折叠后的四面体如图所示 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 9 已知一个上 下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm 且其侧面积等于两底面面积之和 求棱台的高 解如图所示 三棱台abc a1b1c1中 o o1分别为两底面中心 d d1分别为bc和b1c1的中点 则dd1为棱台的斜高 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 由题意知a1b1 20 ab 30 由s侧 s上 s下 得 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 在直角梯形o1odd1中 10 如图所示 在边长为5 的正方形abcd中 以a为圆心画一个扇形 以o为圆心画一