高考数学大一轮复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用（二）课件 理.ppt

第二章函数 导数及其应用 第十二节导数在研究函数中的应用 二 考情展望 1 利用导数解决生活中的优化问题 2 导数与方程 函数零点 不等式知识交汇命题 综合考查分析问题和解决问题的能力 精研析巧运用全面攻克 调研1 2015 长沙模拟 已知函数f x ex x2 ax a 其中a是常数 1 当a 1时 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 若存在实数k 使得关于x的方程f x k在 0 上有两个不相等的实数根 求k的取值范围 解析 1 由f x ex x2 ax a 可得f x ex x2 a 2 x 当a 1时 f 1 e f 1 4e 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y e 4e x 1 即y 4ex 3e 考点一 导数在方程 函数零点 中的应用 师生共研型 该类问题的求解 一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图象 根据零点或图象的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 名师归纳类题练熟 好题研习 考点二 导数在不等式中的应用 师生共研型 使用导数方法证明不等式或者研究在一定条件下的不等式问题 基本方法是通过研究函数性质进行 这里首先要实现问题的转化 即把不等式问题转化为函数的性质问题 构造函数h x f x g x 再使用导数方法研究函数的性质 如函数的单调性 函数的最值 函数的值域等 本题是把比较大小的两个式子构造成函数关系 进行求导确定函数的单调性 进而求得最终结论 名师归纳类题练熟 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 好题研习 故f x 的单调递减区间是 ln2 单调递增区间是 ln2 f x 在x ln2处取得极小值 极小值为f ln2 2 1 ln2 a 2 证明 设g x ex x2 2ax 1 x r 于是g x ex 2x 2a x r 由 1 知 当a ln2 1时 g x 的最小值为g ln2 2 1 ln2 a 0 于是对任意x r 都有g x 0 所以g x 在r上单调递增 于是当a ln2 1时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 考点三 利用导数解决实际生活中的优化问题 师生共研型 令h x 0 得x 80 当x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 当x 80时 h x 取到极小值h 80 11 25 h x 在 0 120 上只有一个极值 11 25是最小值 答 当汽车以80千米 小时的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题作答 提醒 对于实际问题 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 那么该点也是最值点 自我感悟解题规律 学方法提能力启智培优 所谓转化与化归思想方法 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化 进而得到解决的一种方法 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 该思想在利用导数研究函数中的应用具体体现在以下三个方面 1 与恒成立有关的参数范围问题 2 用导数研究函数的零点问题 3 证明不等式问题 思想方法 转化与化归思想在利用导数研究函数中的应用 典例 2014 浙江 已知函数f x x3 3 x a a 0 若f x 在 1 1 上的最小值记为g a 1 求g a 2 证明 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 规范解答 解 1 由a 0 1 x 1 当0 a 1时 若x 1 a 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 1 a 上是减函数 若x a 1 则f x x3 3x 3a f x 3x2 3 0 故f x 在 a 1 上是增函数 所以g a f a a3 若x 1 a h x x3 3x 3a a3 得h x 3x2 3 则h x 在 1 a 上是减函数 所以h x 在 1 a 上的最大值是h 1 2 3a a3 令t a 2 3a a3 则t a 3 3a2 0 知t a 在 0 1 上是增函数 所以t a t 1 4 即h 1 4 故f x g a 4 当a 1时 g a 2 3a 故h x x3 3x 2 得h x 3x2 3 此时h x 在 1 1 上是减函数 因此h x 在 1 1 上的最大值是h 1 4 故f x g a 4 综上 当x 1 1 时 恒有f x g a 4 跟