高考数学一轮复习 9.6直线、圆锥曲线的综合问题课件.ppt

课标版理数 9 6直线 圆锥曲线的综合问题 1 判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时 通常将直线l的方程ax by c 0 a b不同时为0 代入圆锥曲线r的方程f x y 0 消去y 也可以消去x 得到一个关于变量x 或变量y 的方程 对于消去y后得到的ax 2 bx c 0 1 若a 0 则当 0时 直线l与曲线r相交 当 0时 直线l与曲线r相切 当 0时 直线l与曲线r相离 2 若a 0 即得到一个一次方程 则l与r相交 且只有一个交点 此时 若r为双曲线 则直线l与双曲线的 渐近线平行 若r为抛物线 则直线l与抛物线的 对称轴平行 2 连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 若直线l f x y 0 曲线r f x y 0 l与r有两个不同的交点a b a x1 y1 b x2 y2 则 x1 y1 x2 y2 是方程组的两组解 方程组消元后可化 为关于x的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 判别式 b2 4ac 应有 0 所以x1 x2是方程ax2 bx c 0的解 由根与系数的关系 韦达定理 求出x1 x2 x1x2 所以a b两点间距离为 ab x1 x2 即弦长公式 也可以写成关于y的形式 即 ab y1 y2 k 0 3 已知弦ab的中点 研究ab的斜率和方程 1 ab是椭圆 1 a b 0 的一条弦 中点m坐标为 x0 y0 y0 0 则ab的斜率为 运用点差法求ab的斜率 设a x1 y1 b x2 y2 y1 y2 0 a b都在椭圆上 两式相减得 0 0 又由y1 y2 0 易知x1 x2 故kab 2 运用类比的方法可以推出 已知ab是双曲线 1的弦 中点m x0 y0 y0 0 则kab 已知抛物线y2 2px p 0 的弦ab的中点m x0 y0 y0 0 则kab 4 曲线与方程一般地 在平面直角坐标系中 如果某曲线c上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下关系 1 曲线上点的坐标都是这个方程的解 2 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么这个方程叫做曲线的方程 这条曲线叫方程的曲线 曲线既可以看作是符合某种条件的点的集合 又可以看作是满足某种条 件的动点运动的轨迹 因此 此类问题有时也叫做轨迹问题 5 直接法求动点的轨迹方程的步骤 1 建系 建立适当的坐标系 2 设点 设轨迹上的任一点p x y 3 列式 列出点p所满足的关系式 4 代换 依关系式的特点 选用距离公式 斜率公式等将其转化为关于x y的方程 并化简 5 证明 证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程 1 过点的直线l与抛物线y x2交于a b两点 o为坐标原点 则 的值为 a b c 4d 无法确定答案b设a x1 y1 b x2 y2 直线l的方程为y kx 代入抛物线方程得2x2 2kx 1 0 由此得 x1x2 y1y2 x1x2 k2 1 x1x2 k x1 x2 k2 1 k k 故选b 2 抛物线y x2上的点到直线4x 3y 8 0的距离的最小值是 a b c d 3答案a设直线4x 3y m 0与y x2相切 联立两方程整理得3x2 4x m 0 0 m 由题意知所求最小值为 3 过点a 1 0 作倾斜角为的直线 与抛物线y2 2x交于m n两点 则 mn 答案2解析过a 1 0 且倾斜角为的直线方程为y x 1 代入y2 2x得x2 4x 1 0 设m x1 y1 n x2 y2 有x1 x2 4 x1x2 1 mn x1 x2 2 4 若椭圆 1 m n 0 的离心率为 一个焦点恰好是抛物线y2 8x的焦点 则椭圆的标准方程为 答案 1解析由题意得 椭圆的一个焦点为 2 0 m n 4 m 16 n 12 椭圆的标准方程是 1 5 动圆与 c1 x2 y2 1外切 与 c2 x2 y2 8x 12 0内切 则动圆圆心的轨迹是 答案以c1 c2为焦点的双曲线的右支解析 c2的圆心为c2 4 0 半径为2 设动圆的圆心为m 半径为r 因为动圆与 c1外切 又与 c2内切 所以r 2 mc1 r 1 mc2 r 2 由 得 mc1 mc2 3 又3 c1c2 4 根据双曲线的定义知 动圆圆心的轨迹是以c1 c2为焦点的双曲线的右支 典例1 2014湖北 21 14分 在平面直角坐标系xoy中 点m到点f 1 0 的距离比它到y轴的距离多1 记点m的轨迹为c 1 求轨迹c的方程 2 设斜率为k的直线l过定点p 2 1 求直线l与轨迹c恰好有一个公共点 两个公共点 三个公共点时k的相应取值范围 解析 1 设点m x y 依题意得 mf x 1 即 x 1 化简整理得y2 2 x x 故点m的轨迹c的方程为y2 动点的轨迹问题 2 在点m的轨迹c中 记c1 y2 4x c2 y 0 x 0 依题意 可设直线l的方程为y 1 k x 2 由方程组可得ky2 4y 4 2k 1 0 i 当k 0时 y 1 把y 1代入轨迹c的方程 得x 故此时直线l y 1与轨迹c恰好有一个公共点 ii 当k 0时 方程 的判别式为 16 2k2 k 1 设直线l与x轴的交点为 x0 0 则由y 1 k x 2 令y 0 得x0 1 若由 解得k 即当k 1 时 直线l与c1没有公共点 与c2有一个公共点 故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点 2 若或则由 解得k 或 k 0 即当k 时 直线l与c1只有一个公共点 与c2有一个公共点 当k 时 直线l与c1有两个公共点 与c2没有公共点 故当k 时 直线l与轨迹c恰好有两个公共点 3 若则由 解得 1 k 或0 k 即当k 时 直线l与c1有两个公共点 与c2有一个公共点 故此时直线l与轨迹c恰好有三个公共点 综合 i ii 可知 当k 1 0 时 直线l与轨迹c恰好有一个公共点 当k 时 直线l与轨迹c恰好有两个公共点 当k 时 直线l与轨迹c恰好有三个公共点 求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性 化简过程可能破坏了方程的同解性 因此要注意补上遗漏的点或挖去多余的点 轨迹 与 轨迹方程 是两个不同的概念 前者要指出曲线的形状 位置 大小等特征 后者指方 程 包括范围 1 1已知抛物线y2 4px p 0 o为顶点 a b为抛物线上的两动点 且满足oa ob 如果om ab于m点 求点m的轨迹方程 解析设点m的坐标为 x y 直线oa的方程为y kx 显然k 0 则直线ob的方程为y x 由解得a点的坐标为 类似地可得b点的坐标为 4pk2 4pk 从而知当k 1时 kab 故得直线ab的方程为y 4pk x 4pk2 即y 4p x 易知直线om的方程为y x 可知m点的坐标同时满足 由 及 消去k得4px x2 y2 即 x 2p 2 y2 4p2 x 0 当k 1时 容易验证m点的坐标仍适合方程 故点m的轨迹方程为 x 2p 2 y2 4p2 x 0 典例2 2013陕西 20 13分 已知动圆过定点a 4 0 且在y轴上截得弦mn的长为8 1 求动圆圆心的轨迹c的方程 2 已知点b 1 0 设不垂直于x轴的直线l与轨迹c交于不同的两点p q 若x轴是 pbq的角平分线 证明直线l过定点 解析 1 如图 设动圆圆心为o1 x y 由题意 知 o1a o1m 当o1不在y轴上时 过o1作o1h mn交mn于h 则h是mn的中点 圆锥曲线中的定点 定值问题 o1m 又 o1a 化简得y2 8x x 0 又当o1在y轴上时 o1与o重合 点o1的坐标 0 0 也满足方程y2 8x 动圆圆心的轨迹c的方程为y2 8x 2 由题意 设直线l的方程为y kx b k 0 p x1 y1 q x2 y2 将y kx b代入y2 8x中 得k2x2 2bk 8 x b2 0 其中 32kb 64 0 由根与系数的关系得 x1 x2 x1x2 因为x轴是 pbq的角平分线 所以 即y1 x2 1 y2 x1 1 0 kx1 b x2 1 kx2 b x1 1 0 2kx1x2 b k x1 x2 2b 0 将 代入 得2kb2 k b 8 2bk 2k2b 0 k b 此时 0 直线l的方程为y k x 1 即直线l过定点 1 0 在解析几何中 有些几何量如斜率 距离 面积 比值等和变量无关 这类问题统称为定值问题 定点 定值问题的解法同证明题类似 解答这类问题要大胆设参 运算推理 到最后参数必消 定点 定值显露 2 1 2013山东 22 13分 椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点分别是f1 f2 离心率为 过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1 1 求椭圆c的方程 2 点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点 连结pf1 pf2 设 f1pf2的角平分线pm交c的长轴于点m m 0 求m的取值范围 3 在 2 的条件下 过点p作斜率为k的直线l 使得l与椭圆c有且只有一个公共点 设直线pf1 pf2的斜率分别为k1 k2 若k 0 试证明 为定值 并求 出这个定值 解析 1 由于c2 a2 b2 将x c代入椭圆方程 1 得y 由题意知 1 即a 2b2 又e 所以a 2 b 1 所以椭圆c的方程为 y2 1 2 解法一 设p x0 y0 y0 0 又f1 0 f2 0 所以直线pf1 pf2的方程分别为 y0 x x0 y y0 0 y0 x x0 y y0 0 由题意知 由于点p在椭圆上 所以 1 所以 因为 m 2 x0 2 所以 所以m x0 因此 m 解法二 设p x0 y0 y0 0 当0 x0 2时 当x0 时 直线pf2的斜率不存在 易知p或p 若p 则直线pf1的方程为x 4y 0 由题意得 m 因为 m 所以m 若p 同理可得m 当x0 时 设直线pf1 pf2的方程分别为y k1 x y k2 x 由题意知 所以 因为 1 并且k1 k2 所以 即 因为 m 0 x0 2且x0 所以 整理得m 故0 m 且m 综合 可得0 m 当 2 x0 0时 同理可得 m 0 综上所述 m的取值范围是 3 设p x0 y0 y0 0 则直线l的方程为y y0 k x x0 联立整理得 1 4k2 x2 8 ky0 k2x0 x 4 2kx0y0 k2 1 0 由题意知 0 即 4 k2 2x0y0k 1 0 又 1 所以16k2 8x0y0k 0 故k 由 2 知 所以 8 因此 为定值 这个定值为 8 典例3 2013课标全国 20 12分 平面直角坐标系xoy中 过椭圆m 1 a b 0 右焦点的直线x y 0交m于a b两点 p为ab的中点 且op的斜率为 1 求m的方程 2 c d为m上两点 若四边形acbd的对角线cd ab 求四边形acbd面积的最大值 解析 1 设a x1 y1 b x2 y2 p x0 y0 则 1 1 1 圆锥曲线中的最值 参数范围问题 由此可得 1 因为x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 所以a2 2b2 又由题意知 m的右焦点为 0 故a2 b2 3 因此a2 6 b2 3 所以m的方程为 1 2 由解得或因此 ab 由题意可设直线cd的方程为y x n 设c x3 y3 d x4 y4 由得3x2 4nx 2n2 6 0 于是x3 4 因为直线cd的斜率为1 所以 cd x4 x3 由已知 四边形acbd的面积s cd ab 当n 0时 s取得最大值 最大值为 所以四边形acbd面积的最大值为 1 最值问题的求解方法 1 建立函数模型 利用二次函数 三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值 2 建立不等式模型 利用基本不等式求最值 3 数形结合 利用相切 相交的几何性质求最值 2 求参数范围的常用方法函数法 用其他变量表示该参数 建立函数关系 利用求函数值域的方法求解 不等式法 根据题意建立含参数的不等式 通过解不等式求参数范围 判别式法 建立关于某变量的一元二次方程 利用判别式 求参数的范围 数形结合法 研究该参数所表示的几何意义 利用数形结合思想求解 3 1 2014河北保定一模 20 如图 曲线m y2 x与曲线n x 4 2 2y2 m2 m 0 相交于a b c d四点 1 求m的取值范围 2 求四边形abcd的面积的最大值及面积最大时对角线ac与bd的交点坐标 解析 1 设a x1 y1 b x2 y2 其中x2 x1 0 y1 0 y2 0 联立曲线m n的方程 消去y可得 x 4 2 2x m2 0 即x2 6x 16 m2 0 根据条件可得解得 m 4 4分 2 s四边形abcd y1 y2 x2 x1 x2 x1 6分 令t 则t 0 3