高中数学 3.2.2函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用 3 2 2函数模型的应用实例 1 了解函数模型的广泛应用 重点 难点 2 掌握通过建立函数模型解决应用题的基本方法和步骤 重点 难点 1 常用的函数模型 1 一次函数模型 y kx b k b为常数 k 0 2 反比例函数模型 3 二次函数模型 4 指数函数模型 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 y abx c a b c为常数 a 0 b 0 b 1 5 对数函数模型 6 幂函数模型 7 分段函数模型 y mlogax n m n a为常数 a 0 a 1 y axn b a b n为常数 a 0 n 1 2 应用函数模型解决问题的基本过程 1 想一想生活实际问题中 自变量的取值范围往往有何要求 提示 生活实际问题中 自变量需考虑生活实际意义 不能只注重函数解析式自身的限制要求 求解函数应用题的程序 概括为 四步八字 即 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学结论还原为实际问题的意义 利用已知函数模型解决问题 某企业拟共用10万元投资甲 乙两种商品 已知各投入x万元 甲 乙两种商品可分别获得y1 y2万元的利润 利润曲线p1 y1 axn p2 y2 bx c如图所示 1 求函数y1 y2的解析式 2 为使投资获得最大利润 应怎样分配投资额 才能获得最大利润 1 已知函数模型解决实际问题的应用题主要有以下两种类型 1 给出函数解析式的 2 给出函数类型 可利用待定系数法求得函数解析式的 2 读懂题目所叙述的实际问题的意义 领悟其中的数学本质 接受题目所约定的临时性定义 理解题目中的量与量的位置关系 数量关系 确立解题思路和下一步的努力方向 对于有些数量关系较复杂 较模糊的问题 可以借助图象和列表来理清它 自建函数模型解决问题 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 3 今后最多还能砍伐多少年 思路点拨 可建立指数函数模型求解 建立数学模型一定要过好三关 1 事理关 通过阅读 理解 明白问题讲的是什么 熟悉实际背景 为解题打开突破口 2 文理关 将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言 用数学式子表达文字关系 3 数理关 在构建数学模型的过程中 对已知数学知识进行检索 从而认定或构建相应的数学模型 2 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防 将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验 经检测 病毒细胞的个数与天数的记录如下表 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡 但注射某种药物 可杀死其体内该病毒细胞的98 1 为了使小白鼠在实验过程中不死亡 第一次最迟应在何时注射该种药物 精确到天 2 第二次最迟应在何时注射该种药物 才能维持小白鼠的生命 精确到天 lg2 0 3010 解 1 由题意知病毒细胞个数y关于天数n n n 的函数关系式为y 2n 1 n n 为了使小白鼠在实验过程中不死亡 则2n 1 108 两边取对数 解得n 27 即第一次最迟应在第27天注射该种药物 2 由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226 2 再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226 2 2x 由题意226 2 2x 108 两边取对数得26lg2 lg2 2 xlg2 8 解得x 6 即再经过6天必须注射药物 即第二次最迟应在第33天注射药物 我国农业科学家研究玉米植株生长高度与时间的函数关系的例子 下表给出了某地区玉米在不同阶段的高度数据 建立拟合函数解决实际问题 以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图形 但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段的函数图象后会发现 它与我们比较熟悉的指数函数的图象相似 下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式 假设指数函数y aebx 并且通过点 2 0 85 和 23 112 73 把这两个点的坐标代入函数关系式 解方程组得a 0 534 b 0 233 因此 用指数函数近似得到的关系式为y f x 0 534e0 233x 2 由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下 从表中我们可以清楚地看出 第1到第6生长阶段与实际得到的数据误差很小 后面数据误差较大 这个指数函数反映了在玉米生长的后几个阶段增长较快 与实际数据中稳定于某一数值附近不符 数据拟合问题的三种求解策略 1 直接法 若由题中条件能明显确定需要用的数学模型 或题中直接给出了需要用的数学模型 则可直接代入表中的数据 问题即可获解 2 列式比较法 若题所涉及的是最优化方案问题 则可根据表格中的数据先列式 然后进行比较 3 描点观察法 若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型 则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点 作出散点图 然后观察这些点的位置变化情况 确定所需要用的数学模型 问题即可顺利解决 3 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响 在山上建立了一个观察站 测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y 现有连续10年的实测资料 如下表所示 1 描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象 2 建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型 并画出图象 3 根据所建立的函数模型 若今年最大积雪深度为25cm 可以灌溉土地多少公顷 解 1 描点作图如下 易错误区系列 十 在解答应用题时 因忽略自变量的实际意义导致定义域错误 从而造成整个问题的求解错误如图所示 在矩形abcd中 已知ab a bc b b a 在ab ad cd cb上分别截取ae ah cg cf都等于x 问 当x为何值时 四边形efgh的面积最大 并求出最大面积 纠错心得 1 由实际问题得到的函数 其自变量取值除保证函数解析式