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第一章导数及其应用 1 5 1曲边梯形的面积 1 任何一个平面图形都有面积 其中矩形 正方形 三角形 平行四边形 梯形等平面多边形的面积 可以利用相关公式进行计算 2 如果函数y f x 在某个区间i上的图象是一条连续不断的曲线 则称函数f x 为区间i上的连续函数 2 3 如图所示的平面图形 是由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的 称之为曲边梯形 如何计算这个曲边梯形的面积呢 3 三角形面积的算法 设 abc的底边ab a ab边上的高cd h 将cd分成n等分 过每个分点按如图所示作n 1个矩形 则从下到上各矩形的长分别为多少 宽为多少 第i个矩形的长为 每个矩形的宽为 4 这n 1个矩形的面积之和sn 1等于多少 5 随着n的增大 sn 1与 abc的面积愈接近 当n趋向于无穷大时 sn 1的极限为多少 由此可得什么结论 结论 三角形的面积等于各矩形面积之和的极限 6 曲边梯形面积的算法 由抛物线y x2与直线x 1 y 0所围成的平面图形是什么 它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么 直线x 0 x 1 y 0和曲线y x2所围成的曲边梯形 多边形的每条边都是直线段 上图中有一边是曲线段 7 设想用极限逼近思想求上面图形的面积 在该曲边梯形内作若干个小矩形 具体操作 将区间 0 1 分成n等分 按如图所示作n 1个矩形 8 上述n 1个矩形 求出从左到右各矩形的高分别为多少 宽为多少 如下 第i个矩形的高为 每个矩形的宽为 9 利用公式计算 这n 1个小矩形的面积之和sn 1 10 利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积s 所得的结果是 11 上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程的几个基本步骤 分割 近似代替 求和 取极限 若按如图所示作小矩形 那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗 12 若分别以区间内任意一点对应的函数值为高作矩形 那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗 相等 13 理论迁移 例求直线x 0 x 3 y 0和曲线y x2 2x 3所围成的曲边梯形的面积 14 小结 2 求曲边梯形的面积的基本思路是 把曲边梯形分割成n个小曲边梯形 用小矩形近似替代小曲边梯形 求各小矩形的面积之和 求各小矩形面积之和的极限 1 用极限逼近原理求曲边梯形的面积 是一种 以直代曲 的思想 它体现了对立统一 量变与质变的辨证关系 15 3 上述
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