高中数学 3.4《曲线与方程》课件 北师大版选修21.ppt

2 1曲线与方程 学习目标 1 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 并初步领会 曲线的方程 与 方程的曲线 的概念 从而为求已知曲线的方程奠定理论基础 2 在领会曲线和方程概念的过程中 培养分析 判断 归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力 同时强化 形 与 数 一致并相互转化的思想方法 3 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点 初步掌握求曲线的方程的方法 则这个方程就叫做曲线的方程 这条曲线就叫做方程的曲线 在直角坐标系中 某曲线c上的所有点与一个二元方程实数解建立如下关系 1 曲线的方程 方程的曲线的定义 1 曲线上点的坐标都是方程的解 2 以方程的解为坐标的点都在曲线上 2 解析几何有两类问题 一是利用曲线求方程 二是利用方程研究曲线的性质 其中最基本的方法是坐标法 1 如何求曲线 点的轨迹 方程 求曲线方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为含动点坐标的代数方程的过程 在直角坐标系下 2 例题讲解 例1 设a b两点的坐标是 1 1 和 2 3 求线段ab的垂直平分线的方程 求曲线方程的一般步骤 1 建系设点 建立适当的直角坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任一点m的坐标 如果题目中已确定坐标系就不必再建立 2 寻找条件 写出适合条件p的点m的集合 3 列出方程 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化简 化方程f x y 0为最简形式 5 检验 检验以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 ex2 abc顶点b c的坐标分别是 0 0 和 4 0 bc边上的中线长为3 求顶点a的轨迹方程 以这个方程的解为坐标的点是否都在曲线上 思考 x 2 2 y2 9 x 5且x 1 d 求曲线方程的一般步骤 1 建系设点 建立适当的直角坐标系 用有序实数对 x y 表示曲线上任一点m的坐标 2 寻找条件 写出适合条件p的点m的集合 3 列出方程 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 4 化简 化方程f x y 0为最简形式 5 检验 检验以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 检验是否产生增解或漏解 ex3 以ab所在直线为x轴 ab的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系 求直角顶点c的轨迹方程 ex4 已知点c到直线l的距离为8 若动点p到点c和直线l的距离相等 求动点p的轨迹方程 建立坐标系的原则 1 建立的坐标系有利于求出题目的结果 2 尽可能多的使图形上的点 或已知点 落在坐标轴上 3 充分利用图形本身的对称性 若曲线是轴对称图形 则可以选它的对称轴为坐标轴 也可以选取曲线上的特殊点为坐标原点 4 保持图形整体性 求曲线方程的常用方法 1 直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 且这些条件简单明确 易于表述成含有x y的等式 就得到轨迹方程 这种方法称为直接法 用直接法求动点轨迹一般有建系 设点 列式 化简 证明五个步骤 最后的证明可以省略 但要注意 挖 与 补 2 定义法 运用解析几何中一些常用定义 例如圆锥曲线的定义 可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程 或从曲线的定义出发建立关系式 从而求出轨迹方程 3 代入法 若动点所满足的条件不易表述或求出 但形成轨迹的动点p x y 却随另一动点q 的运动而有规律的运动 且动点q的轨迹为给定的或容易求得的 则可先将表示为x y的式子 再代入q的轨迹方程 然后整理得出p的轨迹方程 代入法也称相关点法 4 参数法 若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时 则可借助中间变量 参数 使x y之间建立起联系 然后再从所求式子中消去参数 得出动点的轨迹方程 5 交轨法 求两动曲线交点轨迹时 可由方程直接消去参数 求两动直线的交点时常用此法 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系 然后消去参数得到轨迹方程 交轨法可以说是参数法的一种变形 4 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 轨迹是指曲线 轨迹方程是指曲线的方程 求轨迹方程的本质 就是在给定的坐标系中 求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之