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文档简介
三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心.一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心,即外接圆圆心.的重心一般用字母表示.【性质】1. 外心到三顶点等距,即.2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边,即.3.二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心.的内心一般用字母表示.【性质】1.内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角.2.三角形的面积三角形的周长内切圆的半径3.;三角形的周长的一半.4.,.三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.的重心一般用字母表示.【性质】1. 顶点与垂心连线必垂直对边,即.2. 的垂心为,的垂心为,的垂心为.四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心.的重心一般用字母表示.【性质】1.顶点与重心的连线必平分对边.2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的倍.即3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值即.4. 向量性质:(1); (2),5.三角形“四心”的向量形式:结论1:若点为所在的平面内一点,满足, 则点为的垂心.结论2:若点为ABC所在的平面内一点,满足, 则点为的垂心.结论3:若点满足,则点为的重心.结论4:若点为所在的平面内一点,满足, 则点为的重心.结论5:若点为所在的平面内一点,并且满足(其中为三角形的三边),则点为ABC的内心.结论6:若点为所在的平面内一点,满足,则点为的外心.结论7:设,则向量,则动点的轨迹过的内心.向量和“心”一、“重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点,若,则是的重心如图.M图图【命题2】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则的轨迹一定通过的重心.【解析】 由题意,当时,由于表示边上的中线所在直线的向量,所以动点的轨迹一定通过的重心,如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点,若,则是的垂心【解析】 由,得,即,所以同理可证,是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意,由于,即,所以表示垂直于的向量,即点在过点且垂直于的直线上,所以动点的轨迹一定通过的垂心,如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点,且, 若,则是的内心图图【解析】 ,则由题意得,与分别为和方向上的单位向量,与平分线共线,即平分同理可证:平分,平分从而是的内心,如图.【命题6】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得,当时,表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹一定通过的内心,如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点,若,则是的外心图图【解析】 若,则,则是的外心,如图.【命题7】 已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的外心.【解析】 由于过的中点,当时,表示垂直于的向量,所以在垂直平分线上,动点的轨迹一定通过的外心,如图.练习:1.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则的值为( )A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O,半径为1,则( )A B0 C1 D3点在内部且满足,则面积与凹四边形面积之比是( )A0 B C D4的外接圆的圆心为O,若,则是的( )A外心 B内心 C重心 D垂心5是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若,则是的( )A外心 B内心 C重心 D垂心6.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m = 7(06陕西)已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三
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