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第一章函数 谭顺寅 1 第一章函数 函数是刻画某种特定对象 事 物或运动 按某种规律在变化中相互依赖的数学模型 正确理解函数的概念 建立恰当 合理的数学模型 是我们应用数学理论去分析 理解 解决工程 实际问题的基础 本章将在中学已有的函数知识的基础上 进一步理解函数的概念 并介绍反函数 复合函数及初等函数的主要性质 2 第一节 函数及其性质 1 1 函数的概念 一 常量与变量在生活实际或工程中 常常会遇到两种不同的量 如三角形三角的和为180 24小时为一天 60分钟为一小时 又如水在加温过程中的温度C 飞机从机场起飞的高度H 这里 180 24小时 60分钟都是数值保持不变的量 我们把他们称为常量 或常数 然而加热时水的温度 C 飞机起飞的高度 H 就不能用一个保持不变的量来表达了 因为随着时间的增加 水的温度也在增加 飞机的高度也在增加 当它们增加到一定数值后 就在这一数值间停留下来 再也无法增加了 这个数值就是他们变化的最大值 和 3 我们把水加热随时间变化的温度C 飞机起飞随时间变化的高度H称为变量 一般来讲 在某一变化过程中 数值始终保持不变的量 我们把它称为常量 通常用 C 表示 数值按某种依赖关系发生相应变化的量称为变量 通常用 x y z 等字母表示 4 二 变量与函数1 自变量与因变量对变量来讲 一般都会存在着一种相互依赖的关系 单独一个变量存在的意义是不大的 所以 在工程问题中 只要存在变量 一定会成对应的形式出现 其中一变量是依赖另一变量的 我们把这种相互依赖的量称之为自变量和因变量 即 被依赖的变量称为自变量 依赖于自变量而变化的量称为因变量 如上面就提到的时间 用t表示 就是自变量 温度C和高度H是因变量 因时间变化它们也随之变化 2 函数的定义 设有两个变量x和y x是自变量 y是因变量 若当x在实数的某一范围内 任取一个数值时 变量y按照一定的规律f 有唯一值与之对应 则称因变量y是自变量x的函数 记作y f x 5 其中 D为自变量x的取值范围 称为函数的定义域 若对于确定的x D 通过对应规律f 函数y有唯一确定的值y相对应 称y为y f x 在x处的函数值 记作y0 f x0 y x x0函数值y的集合 称为函数的值域 记作M 6 函数的三要素 我们把函数的对应法则f 或对应规律 定义域D 值域M 称为函数的三要素 一个完整的函数必须要具备三要素 一 对应规律f 对应规律是指当自变量x任取一值时 函数y按这种规律或对应法则确定唯一的值 已知函数 求所确定的对应规律 解 由函数关系式得 7 解 由函数式得 即所确定的对应规律为任意角度的正弦值再减去1例2求y 2x 1的对应规律f解 f x 2 1 即 对应规律f为2 1 例3设 求解 8 例4 设求F X 解 令x 1 t 则x t 1 9 2 定义域 自变量的取值范围称为函数的定义域 定义域是函数很重要的一个内容 函数有无定义 很大程度上都是取决于定义域 定义域的确定一般有下面三种情况 1 根据事实问题来确定 例如 小明今年11岁 身高为120cm 以后在生长发育期平均每年长高5cm 60岁以后他的身高是多少 如果将他的身高作为一个函数 就有Y f x 1 2m 0 05x显然这个函数的定义域就要根据人的实际生长发育情况来确定 否则就无意义了 因为人的生长发育 抛开他有家族遗传和其他不利的因素外 正常的生长期限为男21岁 25岁 女18岁 20岁 又如物体运动时的时间t 几何形体的尺寸 都只能取大于0的数 2 人为的规定限制 10 这类情况是我们在应用上用得最多的 如我们的数控机床 自动化工程 经济调控等等 都是将其限制在某一允许的范围内 所以自变量也只能在某一范围取值 3 由函数式本身来确定 这是我们在理论研究中用得最多的一种情况 它的主导思想就是必须使函数式有意义 下面由例来阐述 例5 求的定义域 解 要使函数有意义 必须即 x 3 x 2 0 x 3或x 2的定义域为 11 例6 求的定义域 解 要使函数有意义 必须x 0和x 1 0 的定义域为 例7 求 解 要使函数有意义 必须 12 的定义域为 定义域的表示可以用集合或用区间都可以 但是在实际应用中 用区间比较方便和直观 3 值域 函数的值域一般称为派生要素 也就是说 一个函数 只要对应规律f和定义域D确定了 则值域也就相应的确定 例8 求 的值域 13 例8 求 的值域 的定义域为 即 将 代入函数F X 解 函数的值域为 14 对于一个完整的函数 必须要具备有三要素 如果两个函数相同 必须是对应法则相同 定义域相同和值域都相同 否则 它们就不相同 例如 和 虽然它们的图像都是同一条直线 但它们就不相同 因为定义不一样 又如 和 不是相同的函数 因为它们的定义域虽相同 但对应法则不同 再如 它们是相同的函数 因它们的对应法则 定义域 值域都是相同的 15 四 函数的表示法 函数常用的表示法有三种 列表法 或表格法 图像法和公式法 列表法 列表法在统计中是一种经常使用的方法 可直接在表上查得函数值 是一种使用很方便的方法 但它的缺点所列的自变量的值是有限的 例8 经统计 某地一型商场一年中销售 海尔 空调 如表所示 日期 季度 t1234销售量 a126438234108 16 图象法 图象法是一种比较直观 明显 能从图形上直观地了解变量间的相互依赖的关系和变化趋势的函数表示方法 同时 在现实中还有不少函数只能通过实验的方法来确定出函数的图形 如材料力学中的拉伸 压 实验曲线图 因此 图象法是工程技术和工程应用中常用的一种方法 17 但它的缺点是图形不易描的精确 有时不便于作理论分析和研究 例9 某地气象测量站用自动温度记录仪记下一昼夜气温变化规律如下 18 它形象的表示出温度C随时间t变化而变化的关系和规律 对于某一时间t 就有一个确定的温度与它对应 如t 13时 就有C 38 C 19 例10 A钢在拉伸实验中的应力 应变 图 从图上可以看出 0 A 为一条直线 材料力学中归纳为弹性变形阶段 A B 为一条波浪线 材料力学中归纳为屈服 塑性 阶段 B C 为一条光滑曲线 材料力学中归纳为强化变形阶段 C D 为一条光滑曲线 材料力学中归纳为颈缩断裂阶段 从 0 D 我们可以看成是由不同解析式来表示而形成的一个函数 我们把这种函数称为分段函数 20 分段函数是定义域上的一个函数 不要理解为多个函数 分段函数要分段求值 分段作图 如 21 公式法 又称解析法 公式法就是用数学式子来表示自变量与因变量的关系 如中学解析几何中圆锥曲线的方程 三角函数 幂函数 指数函数 对数函数等等 都是用数学式子来表示的 用公式来表示函数比较简单 完整 适宜于作理论分析和推导运算 但有些实际问题的函数关系 很难 甚至不能用公式来表示 因此 在实际工程中 应根据实际问题的特点选用适当的表示方法或综合使用 22 1 2函数的性质1 函数的有界性 设函数在区间I上有定义若存在正数M 使得在区间 则称在I内有界 例如在 为有界 因而在 0 1 内为无界 因为当x 0时 23 2单调性 若在区间I内任取两点 且 当 时 称 在I上单调增加 简称单调增 可用符号 这时区间I称为单调区间 当 时 称 在I上单调减少 简称单调减 可用符号 表示 区间I称为单调减区间 单调增区间或单调减区间统称为单调区间 表示 24 3奇偶性设I为关于原点对称的区间 若对于任意的 都有 则称 为奇函数 若 则称 为偶函数 25 例11 和 的奇偶性 和 的定义域都为 在 内 为奇函数 为偶函数 解 26 4 周期性若存在不为零的数T 使得对于任意 有 且 则称 为周期函数通常所说的周期函数的周期是指他的最小正周期 如三角函数 的最小正周期为 的最小正周期是 27 第二节反函数 复合函数和初等函数 一反函数 1定义 设给定 是 的函数 反过来如果把 作为自变量 作为因变量 则 由关系式 所确定的函数 称为函数 的反函数 而 称为直接函数 习惯上总是用 表示自变量 而用 表示函数 因此 往往把 改写成 称为 的矫正形反函数 记为 称 的反函数 为直接反函数 28 2反函数的性质 1 反函数的定义域就是直接函数 的值域M 的值域就是 的定义域 2 和 互为反函数 3 反函数的存在性 a 必须是单值对应的函数才有反函数 不是每一个函数都有反函数 唯单值对应的函 如 就没有反函数 但将它重新定义 即把定义域分成 和 则可求 其反函数为 和 0 数 才能直接求反函数 非单值对应的函数需重新定义方可求其反函数 29 b 在定义域内或在定义域内的某个平面I上 严格单调函数一定有反函数 例1求 的反函数 解 的定义域为 且为单值对应 30 3 反函数的图象 如果 存在反函数 那么 的图象与它的反函数 的图象关于直线 对称 这是一个定理 它的证明可用两点间的距离和反函数的定义予以证明 它对我们 作反函数的图象很有帮助 31 2复合函数的复合过程 复合函数的复合过程 就是找出中间变量 所表达的函数 下面通过例题来 阐明其复合过程 例2 求下列函数的复合过程 1 2 解 1 令 2 令 32 例3设 求 和 解 33 三初等函数1基本初等函数 在中学中所学过的函数 幂函数 指数函数 对函数 三角函数和反函数统称为基本初等函数 它们的定义域 值域和图象大家都是非常了解的 这里就不一一介绍了 2初等函数 1 定义 由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次复合所构成 且能用一个解析式来表示的函数叫做初等函数 否则就是非初等函数 今后我们所能讨论的函数 绝大多数都是初等函数 34 35 2 工程上常用的一类初等函数 双曲线 双曲正弦函数 双曲余弦函数 双曲正切函数 值得注意的是 分段函数在整个定义域内一般不是初等函数 但在定义域内的某个 区间I内 初等函数的定义也可能成立 36 四数学模型方法简介 数学模型是对实际问题进行周密分析 抽象 假设后 运用相关的数学概念 数学符号来表达客观对象及其关系的一种数学表达式 对于一些简单的有着相互依赖的实际问题来讲 可以根据其特有的内在规律 利用函数的概念 建立其数学模型 具体方法步骤为 对问题进行周密分析 抽象出变量和常量 并分别用字母来表示 根据实际问题的条件 运用数学 物理或其他相关知识 确定等量关系 根据等量关系 建立函数f x 的解析式表达 并确定其定义域 37 对这类简单的问题 我们在中学里的应用题已经涉及到