线性方程组解的结构ppt课件.ppt

线性代数 第四章向量 4 4线性方程组解的结构 内容 复习 是极大无关组的充分必要条件 的秩 齐次线性方程组 齐次线性方程组 若记 则等价的向量形式为 则等价的矩阵形式为 1 一定有零解 2 只有零解 3 有非零解 4 有非零解等价于有无穷多解 线性无关 线性相关 下面讨论有无穷多解时 解的结构 4 4线性方程组解的结构 1 解向量 一 齐次线性方程组解的结构 为解向量 例如 方程组 有解 再如 设 且AB 0 则矩阵B的列向量组为齐次线性方程 组AX 0的解向量 即Abi 0 i 1 2 s 2 齐次线性方程组解的性质 齐次线性方程组解的性质 性质1若h1 h2为齐次线性方程组AX 0的解 则h1 h2 证明 所以 h1 h2也是AX 0的解 性质2若h为齐次线性方程组AX 0的解 k为实数 则kh 也是AX 0的解 也是AX 0的解 证明 也是方程组AX 0的解 齐次线性方程组AX 0只有零解 则解向 量组只有零向量 齐次线性方程组AX 0有非零解 则解向 量组含有无穷多个解向量 线性方程组AX 0有非零解时 能否由有限个解组合出全部解 下面介绍基础解系 3 基础解系 齐次线性方程组的解向量组的极大无关组称 为该方程组的基础解系 定义1齐次线性方程组AX 0的有限个解向量 满足 2 AX 0的任意一个解均可由 线性表示 的一个基础解系 通解 全部解 方程组AX 0一个基础解系即为解向量组的一个极大无关组 方程组AX 0基础解系不是唯一的 当齐次线性方程组只有零解时 该方程组没有基础解系 而当一个齐次线性方程组有非零解时 是否一定有基础解系呢 如果有的话 怎样去求它的基础解系 下面的定理给出了齐次线性方程组有非零解时 基础解系的存在性 定理的证明也给出了求基础解系的方法 一般 A的线性无关的r列不一定在前面 则该方程组的基础解系一定存 个 其中n是方程组所含未知量的个数 性无关 对矩阵A施以初等行变换 在 且每个基础解系中所含解向量的个数均等于 可化为 于是 齐次线性方程AX 0组的同解方程组为 n r个n r维向量 一个基础解系 由于n r个n r维向量 线性无关 所以 n r个n维向量 也线性无关 2 证方程组AX 0的任一解h都可表为 的线性组合 设齐次线性方程组AX 0的任意一个解为 代入同解方程组得 即 写成向量形式即为 程组是AX 0的一个基础解系 可以按照定理1的证明过程求出求齐次线性方程组的基础解系 的一个基础解系 则AX 0的全部解可表示为 例1求齐次线性方程组 的基础解系与通解 解 由 得相应的同解方程组为 令自由未知量 等于 得基础解系 所以 通解为 按消元解法 也可得基础解系 得全部解为 令自由未知量 即 两种解法类似 对自由未知量取不同的值 可得不同的 基础解系 令 得基础系 1 求出通解后写成向量形式找出基础解系 求基础解系的两种方法 2 分别取自由变量为一组线性无关的向量 代入同解方程组求出基础解系 基础解系跟自由未知量的选取有关 只要将自由未知量取为线性无关的向量组 所得即为一组基础解系 为简单起见 自由未知量经常取为基本单位向量 或将自由未知量取为可以消去分母的向量 注意 例2用基础解系表示如下线性方程组的通解 解对系数矩阵A作初等行变换 化为行最简矩阵 有 相应的同解方程组为 相应的同解方程组为 令自由未知量 得基础解系 所以 通解为 一般常用齐次线性方程组AX 0的基础解系所含向量个数n r A 与系数矩A的秩的关系证明矩阵的秩 1 若AX 0与BX 0为同解方程组 则 r A r B 2 若AB 0 则B的列向量组一定为齐次 线性方程组AX 0的解 3 若r An n n 则A 的列向量组 一定为齐次线性方程组AX 0的解 r B n r A 证明 证明 1 设B b1 b2 bs 则由AB A b1 b2 bs 0得Abi 0 i 1 2 s 即b1 b2 bs为齐次线性 方程组AX 0的解 并可由其基础解系 线性表出 于是 r b1 b2 bs n r A 所以 r A r B n 例3若 2 若秩 A n 则B 0 3 若B 0 则A的列向量组线性相关 2 与 3 显然 B为3阶非零方阵 解 由 1 r B 3 r A 例4已知 且AB 0 求秩 A r A r B 3 且r B 1 得 因 所以 1 当t 6时 秩 A 2 秩 B 1 2 当t 6时 秩 A 1 秩 B 1或2 设n阶方阵A的 A 0 A中元a11的代 思考练习 通解为 数余子式A11 0 求齐次线性方程组AX 0的通解 二 非齐次线性方程组解的结构 已学过 非齐次线性方程组 记 则有等价的矩阵形式 AX B 则有等价的向量形式 1 AX B有唯一解 2 AX B有无穷多解 3 AX B无解 4 m n时 AX B有唯一解 5 与方程组AX B有解等价的命题 线性方程组AX B有解 1 导出组 对应的齐次线性方程组 非齐次线性方程组 称为方程组 1 的导出组 相伴方程组 2 非齐次线性方程组解的基本性质 证明因为Ag1 B Ag2 B 性质1设g1 g2是非齐次线性方程组AX B的解 则g1 g2是导出组AX 0的解 所以 A g1 g2 Ag1 Ag2 0 即g1 g2是导出组AX 0的解 性质2设g是非齐次线性方程组AX B的解 h是导出组AX 0的解 则g h是非齐次线性方程组AX B的解 证明因为Ag B Ah 0 所以 A x h Ax Ah B 0 B 即g h是方程组AX B的解 设g1 g2 gs都为非齐次线性方程组AX B的解 则线性组合c1g1 c2g2 csgs仍 为AX B的解的充要条件是 例如 g1 g2 gn都为非齐次线性方程组AX B的解 则 也是方程组AX B的解 3 解的结构 个基础解系 则非齐次线性方程组AX B的通解 证明 需要证明 1 非齐次线性方程组的任 为 一解可表示为 2 此形式的列向量都是AX B的解 向量 是方程组AX B的解 设 为非齐次线性方程组AX B的任一解 常数 显然 对任意实数 所以 存在 使 即 定理给出了求非齐次线性方程组通解的方法 解 例5求下述方程组的解 并用导出组的基础解系表示全部解 相应的同解方程组为 求导出组基础解系 注意 求导出组基础解系时 常数项一定要视为零 求AX B特解 得基础解系 令 得AX B特解 所以 通解为 也可由消元解法求通解 写成向量形式为 原方程组的同解方程组为 令 得通解为 两种解法是类似的 例6设四元非齐次线性方程组AX B的系数矩阵A的秩为3 已知它的三个解向量 满足 求该方程组的通解 解因为方程组AX B的导出组的基础解系含4 3 1个解向量 于是导出组的任何一个非零解都可作为其基础解系 而 是导出组的非零解 故方程组AX B的通解为 c为任意常数 完 课堂练习 课堂练习 3 设 阶矩阵 的各行元素之和为0 且秩为 的通解为 n 1 则线性方程组AX 0 分析 则AX 0 的基础解系只有一个向量 设