习题反常积分的收敛判别法.pdf

278 18 习题 8 2 反常积分的收敛判别法 证明比较判别法 定理8 2 2 举例说明 当比较判别法的极限形式中l0或时 a dxx 和 a dxxf 的敛散性可以产生各种不同的的情况 解 1 定理 8 2 2 比较判别法 设在 a上恒有 0 xKxf 其 中K是正常数 则 当 a dxx 收敛时 a dxxf 也收敛 当 a dxxf 发散时 a dxx 也发散 证当 a dxx 收敛时 应用反常积分的Cauchy 收敛原理 0 aA0 0 AAA K dxx A A 于是 A A dxxf A A dxxK 所以 a dxxf 也收敛 当 a dxxf 发散时 应用反常积分的Cauchy 收敛原理 0 0 aA0 0 AAA Kdxxf A A 于是 A A dxx 0 1A A dxxf K 所以 a dxx 也发散 2 设在 a上有0 0 xxf 且0 lim x xf x 则当 a dxxf 发散 时 a dxx 也发散 但当 a dxxf 收敛时 a dxx 可能收敛 也可能发 散 例如 2 1 x xf 20 1 p x x p 则0 lim x xf x 显然有 1 dxxf收敛 而对于 1 dxx 则当21p时收敛 当10p时 发散 279 18 设在 a上有0 0 xxf 且 lim x xf x 则当 a dxxf 收 敛时 a dxx 也收敛 但当 a dxxf 发散时 a dxx 可能发散 也可能 收敛 例如 x xf 1 2 1 1 p x x p 则 lim x xf x 显然有 1 dxxf发散 而对于 1 dxx 则当1 2 1 p时发散 当1p时收敛 证明 Cauchy判别法及其极限形式 定理8 2 3 证 定理 8 2 3 Cauchy判别法 设在 a 0上恒有f x 0 K是 正常数 若f x K x p 且p1 则 a dxxf 收敛 若f x K x p 且p1 则 a dxxf 发散 推论 Cauchy判别法的极限形式 设在 a 0上恒有f x 0 且 lim x p x f xl 则 若0l 且p1 则 a dxxf 收敛 若0l 且p1 则 a dxxf 发散 证直接应用定理8 2 2 比较判别法 及其推论 比较判别法的极限形式 将函数 x取为 p x 1 讨论下列非负函数反常积分的敛散性 1 1 321 xex dx x ln 1 3 1 tanarc dx x x 1 1 0 xx dx sin x x dx q p 1 1 Rqp 解 1 当 x时 1ln 1 23 xex x 2 3 1 x 280 18 所以积分 1 1 321 xex dx x ln 收敛 2 当 x时 3 1 arctan x x 3 2x 所以积分 1 3 1 tanarc dx x x 收敛 3 因为当0 x时有 xxx1 1 sin1 1 而积分dx x 0 1 1 发散 所以积分 1 1 0 xx dx sin 发散 4 当 x时 p q x x 1 qp x 1 所以在1qp时 积分 x x dx q p 1 1 收敛 在其余情况下积分 x x dx q p 1 1 发散 证明 对非负函数f x cpv f x dx 收敛与f x dx 收敛是等价的 证显然 由fx dx 收敛可推出 cpv f x dx 收敛 现证明当0 xf时 可由 cpv fx dx 收敛推出f x dx 收敛 由于 cpv f x dx 收敛 可知极限 Alim AF A lim A A dxxf 存在而且有限 由Cauchy收敛原理 0 0 0A 0 AAA AFAF 于是 0 AAA与 0 ABB 成立 A A dxxf AFAF与 B B dxxf BFBF 这说明积分 0 dxxf与 0 dxxf都收敛 所以积分f x dx 收敛 讨论下列反常积分的敛散性 包括绝对收敛 条件收敛和发散 下同 281 18 ln ln ln sin x x xdx 2 sin x x dx p1 Rp 1 tanarcsin dx x xx p Rp sin xdx 2 0 a n m xdx xq xp sin px m 和 qx n 分别是 m和n次多项式 qx n 在 ax范围无零点 解 1 因为 A xdxAF 2 sin 有界 x x ln lnln 在 2 单调 且0 ln lnln lim x x x 由 Dirichlet 判别法 积分 ln ln ln sin x x xdx 2 收敛 由于x x x sin ln lnln x x x 2 sin ln lnln 2cos1 ln lnln 2 1 x x x 而积分 2 ln lnln dx x x 发散 2 2cos ln lnln xdx x x 收敛 所以积分 2 sin ln lnln dxx x x 发散 即积分 ln ln ln sin x x xdx 2 条件收敛 2 当1p时 pp xx x 1 sin 而 1 1 dx x p 收敛 所以当1p时积分 sin x x dx p1 绝对收敛 当10p时 因 为 A x d xAF 1 si n 有 界 p x 1 在 1 单 调 且 0 1 lim p x x 由 Dirichlet 判别法 积分 sin x x dx p1 收敛 但因为当10p时积 分 1 sin dx x x p 发散 所以当10p时积分 sin x x dx p1 条件收敛 3 当1p时 p x xxarctansin p x2 而 1 1 dx x p 收敛 所以当1p时积分 1 tanarcsin dx x xx p 绝对收敛 当10p时 因 为 A xdxAF 1 si n 有 界 p x xar ct an 在 1 单调 且 282 18 0 arctan lim p x x x 由 Dirichlet 判别法 积分 1 arctansin dx x xx p 收敛 但因为当 10p时积分 1 sin arctan dxx x x p 发散 所以当10p时积分 1 arctansin dx x xx p 条件收敛 4 令 2 xt 0 2 sin dxx 0 2 sin dt t t 由于 0 2 sin dt t t 条件收敛 可知积分 sin xdx 2 0 条件收敛 5 当1mn且 x 充分大时 有x xq xp n m sin 2 x K 可知当1mn时积分 a n m xdx xq xp sin 绝对收敛 当1mn时 因为 A xdxAF 1 sin 有界 且当 x 充分大时 xq xp n m 单调 且0 lim xq xp n m x 由Dirichlet 判别法可知 a n m xdx xq xp sin 收敛 但由于当 x时 xq xp n m x a 易知 1 sin dxx xq xp n m 发散 所以当1mn时 积 分 a n m xdx xq xp sin 条件收敛 当 1mn 时 由A xq xp n m x lim A为非零常数 或 易知积分 a n m xdx xq xp sin 发散 设f x 在 a b只有一个奇点 xb 证明定理 8 2 3和定理 8 2 5 定理 8 2 3 Cauchy判别法 设在 a b上恒有fx 0 若当x属于b的某 个左邻域 bb 0 时 存在正常数 K 使得 283 18 fx K bx p 且p1 则f x dx a b 收敛 fx K bx p 且p1 则f x dx a b 发散 证 1 当p1时 积分 b ap dx xb 1 收敛 由反常积分的Cauchy 收敛原理 0 0 0 K dx xb b bp 1 由于 b b dxxf b bp dx xb K 所以f x dx a b 收敛 2 当1p时 积分 b ap dx xb 1 发散 由反常积分的Cauchy 收敛原理 0 0 0 0 K dx xb b bp 0 1 由于 b b dxxf 0 b bp dx xb K 所以f x dx a b 发散 推论 Cauchy判别法的极限形式 设在 a b上恒有f x 0 且 lim xb p bxf xl 则 若0l 且p1 则f x dx a b 收敛 若0 l 且p1 则f x dx a b 发散 证 1 由lim xb p bxfxl lp0 1 可知 0 bbx p xb l xf 1 再应用定理 8 2 3 的 1 2 由 lim xb p bxfxl lp0 1 可知 0 bbx p xb l xf 2 284 18 再应用定理 8 2 3的 2 定理 8 2 5 若下列两个条件之一满足 则f x g x dx a b 收敛 Abel 判别法 f x dx a b 收敛 g x 在 a b上单调有界 Dirichlet 判别法 b a dxxfF 在 0 ab上有界 g x 在 a b上 单调且0 limxg bx 证 1 设Gxg 因为f x dx a b 收敛 由 Cauchy收敛原理 0 0 bbAA G dxxf A A 2 由积分第二中值定理 A A dxxgxf A A dxxfAgdxxfAg A A dxxfGdxxfG 22 2 设MF 于是 baAA 有Mdxxf A A 2 因为0 limxg bx 0 0 bbx 有 M xg 4 由积分第 二中值定理 A A dxxgxf A A dxxfAgdxxfAg 2 2AgMAgM 22 所以无论哪个判别法条件满足 由 Cauchy收敛原理 都有 a dxxgxf 收 敛的结论 讨论下列非负函数反常积分的敛散性 1 1 230 1 xx dx ln x x dx 20 1 1 1 220 2 cossinxx dx 1 0 2 cos x x dx p ln xdx p 0 1 xxdx pq11 0 1 1 1 0 11 ln 1 dxxxx qp 解 1 因为 3 2 1 1 xx 3 2 1 x 0 x 3 2 1 1 xx 3 1 1 1 x 1 x 所以 285 18 积分 1 1 230 1 xx dx 收敛 2 因为 1 ln lim 2 1 x x x 2 1 且对任意10 0 1 ln lim 2 0 x xx x 即当0 x充分 小时 有 xx x1 1 ln 2 所以积分 ln x x dx 20 1 1 收敛 3 因为 xx 22 sincos 1 2 1 x 0 x xx 22 sincos 1 2 2 1 x 2 x 所 以积分 1 220 2 cossinxx dx发散 4 因为 p x xcos1 2 2 1 p x 0 x 所以当3p时积分 1 0 2 cos x x dx p 收敛 当3p时积分 1 0 2cos x x dx p 发散 5 首先对任意的10与任意的p 有0 ln lim 0 p x xx 即当 0 x充分 小时 有 x x p 1 ln 且 p xln p x 1 1 1 x 所以当1p时 积分 ln xdx p 0 1 收敛 当1p时 积分 ln xdx p 0 1 发散 6 11 1 qp xx p x 1 1 0 x 11 1 qp xx q x 1 1 1 1 x 所以在 0 0 qp时积分xxdx pq11 0 1 1 收敛 在其余情况下积分 xxdx pq11 0 1 1 发散 7 ln 1 11 xxx qp q x 1 1 1 x 且 0 ln 1 lim 11 2 1 0 xxxx qp p x 即当0 x充分小时 有 2 1 11 1 ln 1 p qp x xxx 所以当1 0 qp时积分 1 0 11 ln 1 dxxxx qp 收 敛 在其余情况下积分 1 0 11 ln 1 dxxxx qp 发散 286 18 讨论下列反常积分的敛散性 xx x dx pq11 0 1 ln Rqp 1 12 230 x xx dx ln 1 0 x x dx p 0 tanarc dx x x p 2 0 tan dx x x p xdx px1 0 e 1 0 xx dx pq 2 ln 1 dx xx qp 解 1 xx x dx pq11 0 1 ln 2 1 0 1 ln dx x x p 2 1 0 1 ln dx x x q 1 2 1 11 ln dx x xx qp 当0p 0q时积分 2 1 0 1 ln dx x x p 与积分 2 1 0 1 ln dx x x q 显然收敛 且当1x 时 x xx qp ln 11 1 1ln 1 1 11 1 1 11 x xx qp qp x xqp 1 1 即 1 2 1 11 ln dx x xx qp 不是反常积分 所以积分 xx x dx pq11 0 1 ln 收敛 2 0 3 2 2 1 1 dx xxx 1 0 3 2 2 1 1 dx xxx 2 13 2 2 1 1 dx xxx 2 3 2 2 1 1 dx xxx 因为 3 2 2 1 1 xxx 3 13 1 2 1 x 0 x 3 2 2 1 1 xxx 3 2 1 1 x 1 x 所以积分 1 0 3 2 2 1 1 dx xxx 收敛 因为 287 18 3 2 2 1 1 xxx 3 2 1 1 x 1 x 32 2 1 1 xxx 3 1 3 2 1 2 1 x 2 x 所以积分 2 1 3 2 2 1 1 dx xxx 收敛 因为 3 2 2 1 1 xxx 3 13 2 1 2 1 x 2 x 3 2 2 1 1 xxx 3 4 1 x x 所以积分 2 3 2 2 1 1 dx xxx 收敛 由此可知积分 1 12 23 0 x xx dx 收敛 3 0 1ln dx x x p 1 0 1ln dx x x p1 1ln dx x x p 由 p x x 1ln 1 1 p x 0 x 可知当2p时 积分 1 0 1ln dx x x p 收敛 当 2p时 积分 1 0 1ln dx x x p 发散 当1p时 0 1ln lim 2 13 p p x x x x 即当0 x充分大时 有 2 13 1 1ln pp x x x 其中1 2 13p 可知当1p时 积分 1 1ln dx x x p 收敛 当 1p时 积分 1 1ln dx x x p 发散 综上所述 当21p时 积分 0 1ln dx x x p 收敛 在其余情况下积分 0 1ln dx x x p 发散 288 18 4 0 tanarc dx x x p 1 0 tanarc dx x x p1 tanarc dx x x p 由 p x xarctan 1 1 p x 0 x 可知当2p时积分 1 0 tanarc dx x x p 收敛 由 p x xarctan p x2 x 可知当1p时积分 1 tanarc dx x x p 收敛 所以当21p时积分 0 tanarc dx x x p 收敛 在其余情况下积分 0 tanarc dx x x p 发散 5 2 0 tan dx x x p 4 0 tan dx x x p 2 4 tan dx x x p 由 p x xtan 2 1 1 p x 0 x 可知当 2 3 p时积分 4 0 tan dx x x p 收敛 当 2 3 p时积分 4 0 tan dx x x p 发散 由 p x xtan 1 2 2 2 p p x 2 x 可知积分 2 4 tan dx x x p 收敛 所以当 2 3 p时积分 2 0 tan dx x x p 收敛 当 2 3 p时积分 2 0 tan dx x x p 发散 6 xdx px1 0 e 1 0 1 edxx xp 1 1 edxx xp 由于积分 1 1 edxx xp 收敛 及 xp ex 1 p x 1 1 0 x 所以当0p时 积分xdx px1 0 e收敛 当0p时积分xdx px1 0 e发散 7 1 0 xx dx pq 1 0 1 dx xx qp 1 1 dx xx qp 当qp时 显然积分 1 0 xx dx pq 发散 289 18 当qp时 由于 qp xx 1 min 1 qp x 0 x qp xx 1 max 1 qp x x 所以当1 min qp 且1 max qp时积分 1 0 xx dx pq 收敛 其余情况下积 分 1 0 xx dx pq 发散 8 设1p 则对任意的q 当 x充分大时 有 2 1 1 ln 1 pqp x xx 因为1 2 1p 可知积分 2 ln 1 dx xx qp 收敛 设1p 则对任意的q 当 x充分大时 有 2 1 1 ln 1 pqp x xx 因为1 2 1p 可知积分 2 ln 1 dx xx qp 发散 设1p 令txln 则 2 ln 1 dx xx qp2lnq t dt 由此 可知 当1p或 1 1 qp时积分 2 ln 1 dx xx qp 收敛 在其余情况下积分 2 ln 1 dx xx qp 发散 讨论下列反常积分的敛散性 x x dx p 1 20 1 xx x dx q p sin 1 1 p0 0 sin cose dx x x p x 0 sin 2sine dx x x p x 5 1 02 1 cos 1 dx xx p 6 1 1 sin dx x x x p 0p 解 1 x x dx p 1 20 1 1 02 1 1 dx x x p 12 1 1 dx x x p 由 2 1 1x x p p x 1 1 0 x 2 1 1x x p p x 3 1 x 可知当20p时积 290 18 分 x x dx p 1 20 1 收敛 在其余情况下积分 x x dx p 1 20 1 发散 2 当1pq时 由 qpp q xx xx1 1 sin 可知积分 xx x dx q p sin 1 1 绝对收 敛 当pqp1时 因为 A xdxAF 1 sin 有界 当 x充分大时 p q x x 1 单 调减少 且0 1 lim p q x x x 由 Dirichlet 判别法 积分 1 1 sin dx x xx p q 收敛 但因为积分 1 1 sin dx x xx p q 发散 所以当pqp1时积分 sin x x dx p1 条 件收敛 当pq时 由于 n时 2 2 sin 1 q n p n xx dx x 不趋于零 可知积分 xx x dx q p sin 1 1 发散 3 0 sin cose dx x x p x 1 0 sin cose dx x x p x 1 sin cose dx x x p x 由 p x x xecos sin p x 1 0 x 可知当1p时积分 1 0 sin cose dx x x p x 收敛 在其 余情况下积分 1 0 sin cose dx x x p x 发散 当1p时 易 知 积 分 1 sin cos e dx x x p x 发 散 当0p时 易 知 积 分 1 sin cose dx x x p x 发散 当10p时 因为1cos 1 sin exdxe A x p x 1 单调减少 且0 1 lim p x x 由 Dirichlet 判别法 可知积分 1 sin cose dx x x p x 收敛 综上所述 当10p时 积分 0 sin cose dx x x p x 条件收敛 在其余情况下积 291 18 分 0 sin cose dx x x p x 发散 4 0 sin 2sine dx x x p x 1 0 sin 2sine dx x x p x 1 sin 2sine dx x x p x 由 p x x xe2sin sin 1 2 p x 0 x 可知当2p时积分 1 0 sin 2sine dx x x p x 收敛 在其余情况下积分 1 0 sin 2sine dx x x p x 发散 当21p时 显然积分 1 sin 2sin e dx x x p x 收敛 当1p时 易知积分 1 sin 2sin e dx x x p x 发散 当0p时 易知积分 1 sin 2sine dx x x p x 发散 当10p时 因为 1 sin 02sin k k x xdxe 可知 A x xdxe 0 sin 2sin有界 且 p x 1 单调减少 0 1 lim p x x 由 Dirichlet 判别法 可知积分 1 sin 2sine dx x x p x 收敛 综上所述 当21p时积分 0 sin 2sine dx x x p x 绝对收敛 当10p时积分 0 sin 2sine dx x x p x 条件收敛 在其余情况下积分 0 sin 2sine dx x x p x 发散 5 令 2 1 x t 则 1 02 1 cos 1 dx xx p tdt t p cos 1 2 1 1 2 3 于 是 可 知 当1p时 积 分 1 02 1 c o s 1 dx xx p 绝 对 收 敛 当31p时 积 分 1 02 1 cos 1 dx xx p 条件收敛 当3p时积分 1 02 1 cos 1 dx xx p 发散 292 18 6 当1p时 因为 pp xx x x 1 1 sin 可知积分 1 1 sin dx x x x p 绝对收敛 当10p时 因为 2 6 1 sin n n p dx x x x p n 2 32 1 而级数 1 2 1 n p n 发散 所以积分 1 1 sin dx x x x p 发散 又因为 dx x x x p 1 1 sin dx x x x x x p1 sin 1 coscos 1 sin 注意到当x充分大时 p x x 1 sin 与 p x x 1 cos 都是单调减少的 由 Dirichlet 判别法可知积分 1 1 sin dx x x x p 收敛 所以 积分 1 1 sin dx x x x p 条件收敛 10 证明反常积分 0 4 sinsinxdxxx 收敛 证对任意AAA 由分部积分法 4 sinsin A A xdxxx 4 2 cos 4 sin A A xd x x 2 4 4 cossin A A x xx 2 4 4 coscosA A dx x xx 3 4 2 sincosA A dx x xx 显然 当A时 等式右端的三项都趋于零 由Cauchy 收敛原理 可知反 常积分 0 4 sinsinxdxxx收敛 11 设f x 单调 且当x0时f x 证明 fx dx 0 1 收敛的必要条 件是 lim x xf x 0 0 证首先由fx 的单调性 对于充分小的10 x 有 293 18 x x dttfxf x 2 2 0 由 Cauchy收敛原理 x x x dttf 2 0 0 lim 于是得到 0 lim 0 xxf x 12 设 a dxxf 收敛 且 xxf在 a上单调减少 证明 0 lnlimxfxx x 证首先容易知道当 x时 xxf单调减少趋于0 于是有 0 xxf 且 x x dt t ttfxfxx 1 ln 2 1 0 x x dttf 然后由 Cauchy收敛原理 0 lim x x x dttf 于是得到 0 lnlimxfxx x 13 设f x 单调下降 且 lim x f x0 证明 若fx 在 0上连续 则反 常积分fxx dx sin 2 0 收敛 证首先由分部积分法 0 2 sin xdxxf 0 2 sinxxdf 0 2sin xdxxf 由于 A xdxAF 0 2sin 有界 f x 单调下降 且 lim x f x0 由 Dirichlet 判别法 可知积分 0 2sin xdxxf收敛 从而积分fxx dx sin 2 0 收 敛 14 设 a dxxf 绝对收敛 且 lim x f x0 证明fx dx a 2 收敛 证首先由 lim x f x0 可知aA Ax 有1 xf 即当Ax时 成立 2 xfxf 因为积分 a dxxf 绝对收敛 于是由比较判别法 积分fx dx a 2 收敛 15 若fx dx a 2 收