高考数学新一轮总复习 7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系考点突破课件 理 .ppt

第3课时空间点 直线 平面之间的位置关系 一 考纲点击1 了解可以作为推理依据的公理和定理 2 理解空间直线 平面位置关系的定义 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 二 命题趋势1 从考查内容看 对本节的考查以考查点 线 面的位置关系为主 同时也考查逻辑推理能力与空间想象能力 2 从考查形式看 多以选择题 填空题的形式出现 有时也出现在解答题中 属低中档题 1 平面的基本性质 两点 对点演练 2014 东北三校联考 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 a 0b 1c 2d 3解析 错误 正确 答案 c 2 空间中两直线的位置关系 1 空间两直线的位置关系 0 1 0 2 平行公理和等角定理 平行公理平行于的两条直线平行 用符号表示 设a b c为三条直线 若a b b c 则a c 等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角相等或互补 同一条直线 锐角或直角 对点演练 1 已知空间中有三条线段ab bc和cd 且 abc bcd 那么直线ab与cd的位置关系是 a ab cdb ab与cd异面c ab与cd相交d ab cd或ab与cd异面或ab与cd相交 解析 若三条线段共面 如果ab bc cd构成等腰三角形 则直线ab与cd相交 否则直线ab与cd平行 若不共面 则直线ab与cd是异面直线 答案 d 2 教材习题改编 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab ad的中点 则异面直线b1c与ef所成的角的大小为 解析 连接b1d1 d1c 则b1d1 ef 故 d1b1c为所求 又b1d1 b1c d1c d1b1c 60 答案 60 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 0 无数 0 无数 对点演练 教材习题改编 平行六面体abcd a1b1c1d1中既与ab共面又与cc1共面的棱的条数为 解析 如图 与ab和cc1都相交的棱有bc 与ab相交且与cc1平行的棱有aa1 bb1 与ab平行且与cc1相交的棱有cd c1d1 故符合条件的棱共有5条 答案 5 1 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行 2 异面直线的判定方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 4 公理的作用 1 公理1的作用 检验平面 判断直线在平面内 由直线在平面内判断直线上的点在平面内 2 公理2的作用 公理2及其推论给出了确定一个平面或判断 直线共面 的方法 3 公理3的作用 判定两平面相交 作两平面相交的交线 证明多点共线 4 公理4用于证明两直线平行 题型一点共线 点共面 线共点问题 2014 长春一模 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为d1c1 c1b1的中点 ac bd p a1c1 ef q 求证 1 d b f e四点共面 2 若a1c交平面dbfe于r点 则p q r三点共线 证明 1 如图所示 因为ef是 d1b1c1的中位线 所以ef b1d1 在正方体ac1中 b1d1 bd 所以ef bd 所以ef bd确定一个平面 即d b f e四点共面 2 正方体ac1中 设a1acc1确定的平面为 又设平面bdef为 因为q a1c1 所以q 又q ef 所以q 则q是 与 的公共点 同理 p点也是 与 的公共点 所以 pq 又a1c r 所以r a1c r 且r 则r pq 故p q r三点共线 归纳提升 1 点共线问题的证明方法证明空间点共线 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 2 线共点问题的证明方法证明空间三线共点 先证两条直线交于一点 再证第三条直线经过这点 将问题转化为证明点在直线上 3 点线共面问题的证明方法 1 纳入平面法 先确定一个平面 再证有关点 线在此平面内 2 辅助平面法 先证有关点 线确定平面 再证其余点 线确定平面 最后证明平面 重合 针对训练1 1 2014 江西模拟 在空间中 下列命题正确的是 a 对边相等的四边形一定是平面图形b 四边相等的四边形一定是平面图形c 有一组对边平行的四边形一定是平面图形d 有一组对角相等的四边形一定是平面图形 2 对于四面体abcd 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱ab与cd所在直线异面 由顶点a作四面体的高 其垂足是 bcd三条高线的交点 若分别作 abc和 abd的边ab上的高 则这两条高所在的直线异面 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 解析 1 由 两平行直线确定一个平面 知c正确 2 由四面体的概念可知 ab与cd所在的直线为异面直线 故 正确 由顶点a作四面体的高 只有当四面体abcd的对棱互相垂直时 其垂足是 bcd的三条高线的交点 故 错误 当da db ca cb时 这两条高线共面 故 错误 设ab bc cd da的中点依次为e f m n 易证四边形efmn为平行四边形 所以em与fn相交于一点 易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点 故 正确 答案 1 c 2 解析 过n作np bb1于点p 连接mp 可证aa1 平面mnp aa1 mn 正确 过m n分别作mr a1b1 ns b1c1于点r s 则当m不是ab1的中点 n不是bc1的中点时 直线a1c1与直线rs相交 当m n分别是ab1 bc1的中点时 a1c1 rs a1c1与mn可以异面 也可以平行 故 错误 由 正确知 aa1 平面mnp 而aa1 平面a1b1c1d1 平面mnp 平面a1b1c1d1 故 对 综上所述 其中正确命题的序号是 答案 归纳提升 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 针对训练2 1 2014 金华模拟 在图中 g n m h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 2 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 a l1 l2 l2 l3 l1 l3b l1 l2 l2 l3 l1 l3c l1 l2 l3 l1 l2 l3共面d l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 解析 1 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以图 中gh与mn异面 2 a选项 l1 l2 l2 l3 则l1与l3的位置关系可能是相交 平行或异面 b选项正确 c选项 l1 l2 l3 则l1 l2 l3既可能共面 也可能异面 d选项 如长方体共顶点的三条棱为l1 l2 l3 但这三条直线不共面 答案 1 2 b 题型三异面直线所成的角正方体abcd a1b1c1d1中 1 求ac与a1d所成角的大小 2 若e f分别为ab ad的中点 求a1c1与ef所成角的大小 解 1 如图所示 连接b1c 由abcd a1b1c1d1是正方体 易知a1d b1c 从而b1c与ac所成的角就是ac与a1d所成的角 ab1 ac b1c b1ca 60 即a1d与ac所成的角为60 2 如图所示 连接ac bd 在正方体abcd a1b1c1d1中 ac bd ac a1c1 e f分别为ab ad的中点 ef bd ef ac ef a1c1 即a1c1与ef所成的角为90 归纳提升 求异面直线所成的角一般用平移法 步骤如下 1 一作 即找或作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 即证明作出的角是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出所作的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 创新体验 构造法判断空间线面位置关系 典例 2013 课标全国 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 a 且l b 且l c 与 相交 且交线垂直于ld 与 相交 且交线平行于l 规范解答 若 则m n