高中数学 1.8.2函数y=Asin（ωx+φ）的图像课件 北师大版必修4 .ppt

确定函数y asin x b 0 解析式的步骤 1 求a b 确定函数的最大值m和最小值m 则 2 求 先由图像可观察出 t 再根据求出 由函数的图像求函数解析式 3 求 此时a b已知 常用方法有 代入法 把图像上的一个已知点代入y asin x b求出 此法适用于的范围已知的情况 五点法 例1 已知函数y asin x a 0 0 在一个周期内的部分函数图像如图所示 求此函数的解析式 审题指导 本题图像中的已知点是最低点和最高点 根据这两个点 除了可以确定函数的最大 小 值 还可以确定两个点横坐标之间的距离是周期的一半 规范解答 方法一 由图像可知 其振幅为a 2 由 周期为 此时解析式为y 2sin x 以点为 五点法 作图的第二关键点 则有 即所求函数的解析式为 方法二 同方法一 此时解析式为y 2sin x 由图像可知所求函数图像是由函数y 2sin x 第二关键点是 向左平移个单位长度而得到的 所求函数的解析式为 变式训练 2011 江苏高考 函数f x asin x a 为常数 a 0 0 的部分图像如图所示 则f 0 的值是 解题提示 由最小值为求a 由求 用关键点求 解析 根据图像可知a 周期t 根据五点法作图可知 解得 所以所以答案 1 求三角函数式最大 小 值的主要题型 1 求形如y asin x b y acos x b或y atan x b三角函数式的最大 小 值 2 求形如y asin2x bsinx c y acos2x bcosx c或y atan2x btanx c三角函数式的最大 小 值 求函数的最大值和最小值 2 求三角函数式最值的方法 1 单调性法 如果函数y f x 在区间 a b 上是增加的 则f a f x f b 如果函数y f x 在区间 a b 上是减少的 则f a f x f b 2 图像法 函数的单调性不明确时 可作出函数y f x 的图像 寻找函数图像的最高点和最低点处的纵坐标 求函数最大 小 值时 要特别注意函数的定义域 例2 求下列函数的最大值和最小值 以及达到最大 小 值时x的取值 1 2 审题指导 利用函数图像求三角函数的最值问题往往与二次函数的图像与单调性紧密结合在一起 解题时应多加注意各自的特点 规范解答 1 设 当u 2k k z 时 即 k z 时 取最大值1 此时函数取最大值5 当u 2k k z 时 即 k z 时 取最小值 1 此时函数取最小值1 2 y 3cos2x 4cosx 1 x cosx 从而当cosx 即x 时 函数y 3cos2x 4cosx 1取最大值 从而当cosx 即x 时 函数y 3cos2x 4cosx 1取最小值 互动探究 本例 1 函数改为 x 如何解答 解题提示 由x 分析的取值范围 结合的取值范围确定最值 解析 设u 由x 知u sinu 1 0 当时 即时 取最小值 1 取最小值1 当u 时 即x 时 取最大值0 取最大值3 1 三角函数图像的对称轴和对称中心 求函数图像的对称轴和对称中心 2 函数y asin x 和y acos x 的对称轴总是过图像的最高点或最低点且垂直于x轴 它们的对称中心是图像与x轴的交点 即函数的零点 例3 已知函数 0 的最小正周期为 则该函数的图像 a 关于点对称 b 关于直线对称 c 关于点对称 d 关于直线对称 审题指导 由函数的最小正周期为 可求 时函数取最大值和最小值的平均值 由此可求得函数的对称中心的坐标 时函数取最大值或最小值 由此可求得函数的对称轴方程 规范解答 选a 的最小正周期为 方法一 由 k z 得函数图像的对称中心是 k z 如k 1 0 1时对称中心是 故a正确 而c错误 由 k z 得函数图像的对称轴是直线 k z 如k 1 0 1时对称轴是直线故b d错误 方法二 根据正弦曲线和余弦曲线的结构特征 对称轴处函数取最大 小 值 对称中心处函数值为零 即最大值和最小值的平均值 因为当时 当时 所以该函数的图像关于点对称 故选a 变式训练 已知函数y sin 3x 的图像的一个对称中心是 则可取 a b c d 解析 选b 是图像的一个对称中心 k z k z 当k 2时 故选b 研究复合函数的单调性的一般步骤 1 弄清函数是由哪些基本函数复合得到的 求出复合函数的定义域 2 分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间 3 应用 同增异减 的法则得出结论 复合函数的单调性 例 已知函数 1 求函数的定义域 2 求满足f x 0的x的取值范围 3 求函数f x 的递减区间 审题指导 解答本题 1 要注意真数大于零 2 要注意对数性质loga1 0的应用 3 函数y log2u在 0 是增加的 根据 同增异减 的规律 只要求函数递减区间 但要注意与定义域求交集 规范解答 1 令则 k z k z 故函数的定义域为 k z 2 f x 0 或 k z 或 k z 故x的取值范围是 3 令 k z k z k z 故函数的递减区间是 k z 变式备选 求函数的定义域 值域 单调区间 解析 令则故函数的定义域为 k z 函数的值域为 0 令故函数的递减区间是 k z 令故函数的递增区间是 k z 典例 12分 求下列函数的单调区间 1 2 审题指导 由函数和复合而成 由函数和复合而成 规范解答 1 设 因为函数y sinu的递减区间是 k z 1分由 k z 得 k z 所以 函数的递增区间是 k z 3分 因为函数y sinu的递增区间是 k z 4分由 k z 得 k z 所以 函数的递减区间是 k z 6分 2 设因为函数y tanu的递增区间是 k z 8分由 k z 得 k z 11分所以 函数的递增区间是 k z 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 求下列函数的单调区间 解析 设 因为函数y cosu的递减区间是 2k 2k k z 由 k z 得 k z 所以 函数的递增区间是 k z 因为函数y cosu的递增区间是 2k 2k k z k z 得 k z 所以 函数的递减区间是 k z 误区警示 解答本题容易出现将函数解析式化为的错误 1 在函数的图像对称中心中 与原点最近的是 a 3 0 b c 3 0 d 解析 选b 由 k z 得 k z 所以函数的图像的对称中心是 k z 当k 0时 x等于 故选b 2 函数的最小值是 a 1 b c 0 d 解析 选c x 时 取最小值0 3 已知函数且此函数的图像如图所示 则点p 的坐标为 a b c d 解析 选b 由图像可知 由 周期为 此时解析式为y sin 2x 以点为 五点法 作图的第三关键点 则有 点p 的坐标为 4 判断函数 x r 的奇偶性可知此函数为 解析 且 函数是奇函数 答案 奇函数 5 函数y cos2x的递减区间为 解析 设u 2x因为函数y cosu的递减区间是 2k 2k k z 由2k 2x 2k k z 得 k z 所以 函数y cos2x的递减区间是 k z 答案 k z 6 求下列函数