三角与二项式系数的性质ppt课件.ppt

1 杨辉三角 与二项式系数的性质 2 复习提问 1 二项式定理的内容 右边多项式叫 a b n的二项展开式 2 二项式系数 3 二项展开式的通项Tk 1 针对 a b n的标准形式而言 b a n a b n的通项则分别为 4 在定理中 令a 1 b x 则 3 观察猜想 展开式的二项式系数有什么变化规律 二项式系数最大的是哪一项 为了研究它的一般规律 我们先来观察n为特殊值时 二项展开式中二项式系数有什么特点 4 你知道这是什么图表吗 新课引入 5 详解九章算法 记载的表 杨辉三角 杨辉 以上二项式系数表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 这个表称为杨辉三角 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 6 观察 从图中你能得出哪些性质 思考 会证明这些性质吗 探究 7 a 表中每行两端都是1 b 除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和 4 6 10 当n不大时 可用该表来求二项式系数 总结提炼1 8 对称 总结提炼2 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 9 当n为偶数如2 4 6时 中间一项最大 当n为奇数如1 3 5时 中间两项最大 知识探究3 10 增减性的实质是比较的大小 所以相对于的增减情况由决定 可知 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 还有没有其他解释呢 最大项与增减性 11 可以看成以r为自变量的函数f r 其定义域是 0 1 n 函数角度 知识探究3 12 当n 6时 二项式系数 0 r 6 用图象表示 图象法解释 13 f r n为奇数 如n 7 n为偶数 如n 6 关于r n 2对称 r 3和r 4时取得最大值 图象法解释 14 n是偶数时 中间的一项取得最大值 当n是奇数时 中间的两项和相等 且同时取得最大值 总结提炼3 15 知识探究4 二项式系数求和 16 启示 在二项式定理中a b可以取任意数或式子 因此我们可以通过对a b赋予一些特定的值 是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法 令a b 1 则 在 a b n Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2 Cnran rbr Cnnbn 证明 17 进一步思考 2 试证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即证 证明 在展开式中令a 1 b 1得 小结 赋值法在二项式定理中 常对a b赋予一些特定的值1 1等来整体得到所求 还有没有其他思考方法呢 18 赋值法 19 例2 20 小结 求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值 然后解方程组整体求解 思考 21 思考1求证 略证 由 1 x n 1 x n 1 x 2n 两边展开后比较xn的系数得 再由得 22 思考2求证 证明 倒序相加法 23 思考3在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数最大的项 24 3 因为系数为正的项为奇数项 故可设第2r 1项系数最大 以下同2 r 5 25 1 研究斜行规律 创新与联想 2 研究杨辉三角与斐波那契数列的关系 26 1 研究斜行规律 第一条斜线上 第二条斜线上 第三条斜线上 第四条斜线上 猜想 在杨辉三角中 第m条斜线 从右上到左下 上前n个数字的和 等于 1 1 1 1 1 1 6 1 2 3 4 5 15 1 3 6 10 20 1 4 10 15 第m 1条斜线上的第n个数 27 1 1 1 1 第1条斜线 1 4 10 第4条斜线 1 3 6 第3条斜线 1 2 3 第2条斜线 n r 28 结论1 杨辉三角中 第m条斜 从右上到左下 上前n个数字的和 等于第m 1条斜线上第n个数 即 根据杨辉三角的对称性 类似可得 杨辉三角中 第m条斜 从左上到右下 上前n个数字的和 等于第m 1条斜线上第n个数 29 1 2 5 第5行15101051 第6行1615201561 第7行172135352171 第1行11 第0行1 第2行121 第3行1331 第4行14641 1 3 8 13 21 34 2 如图 写出斜线上各行数字的和 有什么规律 第8行18285670562881 从第三个数起 任一数都等于前两个数的和 这就是著名的斐波那契数列 30 杨辉三角的其它规律 31 第0行1 1 杨辉三角的第2k 1行的各数字特点 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行1615201561 第n 1行1 1 第n行1 1 第7行172135352171 杨辉三角的第2k 1行 k是正整数 的各个数字都是奇数 质数的积 32 第0行1 第1行11 第2行121 第3行1331 第4行14641 第5行15101051 第6行161