山东省冠县武训高级中学高中数学《3.2.2 函数模型的应用实例》课件 新人教A版必修1.ppt

3 2 2函数模型的应用实例 1 几种常见的函数模型 1 一次函数模型 2 二次函数模型 3 指数函数模型 4 对数函数模型 5 幂函数模型 1 函数模型应用的两个方面 1 利用已知函数模型解决问题 2 建立恰当的函数模型 并利用所得函数模型解释有关现象 对某些发展趋势进行预测 2 应用函数模型解决问题的基本过程 数据拟合时 得到的函数为什么需要检验 提示 因为根据已给的数据 作出散点图 根据散点图 一般是从我们比较熟悉的 最简单的函数作模拟 但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际 此时就要再改选其他函数模型 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元 每生产一台仪器需增加投入100元 已知总收益满足函数 1 将利润表示为月产量的函数f x 2 当月产量为何值时 公司所获利润最大 最大利润为多少元 总收益 总成本 利润 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 总成本 固定成本 100 x 收益函数为一分段函数 解答本题可由已知总收益 总成本 利润 知利润 总收益 总成本 由于r x 为分段函数 所以f x 也要分段求出 将问题转化为分段函数求最值问题 解析 1 设每月产量为x台 则总成本为20000 100 x 从而f x 在函数应用题中 正确理解题意 养成良好的阅读习惯是成功的一半 而二次函数模型常涉及顶点坐标 函数的单调性 区间最值等问题 二次函数的配方是比较有效的解题手段 1 在经济学中 函数f x 的边际函数mf x 定义为mf x f x 1 f x 某公司每月最多生产100件产品 生产x x n 件产品的收入函数为r x 3000 x 20 x2 单位 元 其成本函数c x 500 x 4000 单位 元 利润为收入与成本之差 1 求利润函数p x 及其边际利润函数mp x 2 利润函数p x 与边际利润函数mp x 是否具有相等的最大值 解析 由题意知 x 1 100 且x n 1 p x r x c x 3000 x 20 x2 500 x 4000 20 x2 2500 x 4000 x 1 100 x n mp x p x 1 p x 20 x 1 2 2500 x 1 4000 20 x2 2500 x 4000 2480 40 x x 1 100 x n 某林区1999年木材蓄积量200万立方米 由于采取了封山育林 严禁采伐等措施 使木材蓄积量的年平均递增率能达到5 1 若经过x年后 该林区的木材蓄积量为y万立方米 求y f x 的表达式 并求此函数的定义域 2 作出函数y f x 的图象 并应用图象求经过多少年后 林区的木材蓄积量能达到300万立方米 解析 1 现有木材蓄积量200万立方米 经过1年后木材蓄积量为200 200 5 200 1 5 经过2年后木材蓄积量为200 1 5 200 1 5 5 200 1 5 2 经过x年后木材蓄积量为200 1 5 x y f x 200 1 5 x x虽以年为单位 但木材每时每刻均在生长 x 0 且x r 函数的定义域为 0 2 作函数y f x 200 1 5 x x 0 图象 如图所示 年份0为1999年 附图 作直线y 300 与函数y 200 1 5 x的图象交于a点 设a x0 300 则a点的横坐标x0的值就是函数值y 300时 木材蓄积量为300万立方米时 所经过的时间x的值 8 x0 9 则取x 9 经过9年后林区的木材蓄积量能达到300万立方米 由于 递增率 问题多抽象为指数函数形式 而由指数函数形式来确定相关的量的值多需要使用计算器计算 如果问题要求不严格 就可以通过图象近似求解 用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围 是数学常用的方法之一 这种将 数 与 形 结合解决问题的思想方法即 数形结合方法 能使抽象的问题直观化 对人的数学思维发展有深刻的影响 2 某商店如果将进货为8元的商品按每件10元售出 每天可销售200件 现在采用提高售价 减少进货量的方法增加利润 已知这种商品每涨价0 5元 其销售量就减少10件 问应该将售价定为多少时 才能使所赚利润最大 并求出最大利润 解析 设每件售价提高x元 则每件得利润 10 8 x 元 即 2 x 元 每天销售量变为 200 x 0 5 10 件 即 200 20 x 件 所获利润y 2 x 200 20 x 20 x 4 2 720 0 x 10 故当x 4 即售价定为14元时 每天可获得最大利润720元 某工厂今年1月 2月 3月生产某产品分别为1万件 1 2万件 1 3万件 为了估测以后每个月的产量 以这三个月的产品数量为依据 用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系 模拟函数可以选用二次函数或函数y a bx c 其中a b c为常数 已知4月份该产品的产量为1 37万件 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好 并说明理由 思路点拨 由题目可获取以下主要信息 此工厂前三个月的产量已知 题中给出了两个函数模型 选择其中一个 解答本题先由条件确定函数解析式中的待定系数的值 再研究x 4时 哪个函数值更接近1 37 1 问题中给出函数解析式 且解析式中带有需要确定的参数 这些参数需要根据问题的内容或性质来确定 然后再通过运用函数使问题本身获解 2 在建立函数模型时 对同一实际问题可选取不同的模型 通过比较 选出比较接近实际的模型 3 某地西红柿从2月1日起开始上市 通过市场调查 得到西红柿种植成本q 单位为 元 102kg 与上市时间t 单位 天 的数据如下表 1 根据上表中数据 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本q与上市时间t的变化关系 q at b q at2 bt c q a bt q a logbt 2 利用你选取的函数 求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本 1 解决应用问题的基本步骤 1 阅读理解 认真审题 就是要读懂题中的文字叙述 理解叙述所反映的实际背景 领悟从背景中概括出来的数学实质 尤其是理解叙述中的新名词 新概念 进而把握新信息 在此基础上 分析出已知是什么 求什么 涉及哪些知识 确定自变量与函数值的意义 尝试将问题函数化 审题时要抓住题中关键的量 要勇于尝试 探索 敏于发现 归纳 善于联想 化归 实现应用问题向数学问题的转化 2 引进数学符号 建立数学模型 一般设自变量为x 函数为y 并用x表示各种相关量 然后根据问题的已知条件 运用已掌握的数学知识 物理知识及其他相关知识建立函数关系式 将实际问题转化为一个数学问题 实现问题的数学化 即建立数学模型 3 利用数学的方法对得到的数学模型予以解答 求出结果 4 将数学问题的解代入实际问题进行核查 舍去不合题意的解 并作答 这些步骤用框图表示如下 2 数据拟合过程中的假设就一般的数学建模来说 是离不开假设的 如果在问题的原始状态下不作任何假设 将所有的变化因素全部考虑进去 对于稍复杂一点的问题就无法下手了 假设的作用主要表现在以下几个方面 1 进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用 通常 初步接触一个问题 会觉得围绕它的因素非常多 经仔细分析筛查 发现有的因素并无实质联系 有的因素是无关紧要的 排除这些因素 问题则越发清晰明朗 在假设时就可以设这些因素不需考虑 2 降低解题难度 虽然每一个解题者的能力不同 但经过适当的假设就都可以有能力建立数学模型 并且得到相应的解 一般情况下 是先在最简单的情形下组建模型 然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际 从而得到更满意的解 某公司在甲 乙两地销售一种品牌车 利润 单位 万元 分别为l1 5 06x 0 15x2 和l2 2x 其中x为销售量 单位 辆 若该公司在这两地共销售15辆车 则能获得的最大利润为 a 45 606b 45 6c 46 8d 46 806 错因 上面解答中x 51 5不为整数 在实际问题中是不可能的 因此x应根据抛物线取与x 51 5接近的整数才符合题意 正解 设甲地销售x辆 则乙地销售 15 x 辆 则总利润l l1 l2 5 06x 0 15x2 2 15 x 0 15x2 3 06x 30 0 15 x 10 2 2 45 606 根据二次函数图象和x n 当x 10时 获得最大利润l 0 15 102 3 06 10 30 45 6万元 答案 b 作业 1 将进货价为8元的商品按每件10元售出 每天可销售200件 若每件的售价涨0 5元 其销售量减少10件 问将售价定为多少时 才能使所赚利润最大