高考数学大一轮总复习 第8篇 第6节 曲线与方程课件 理 新人教A版 .ppt

第6节曲线与方程 基础梳理 1 曲线与方程一般地 在直角坐标系中 如果某曲线c 看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹 上的点与一个二元方程f x y 0的实数解建立了如下的关系 1 曲线上点的 都是这个方程的 2 以这个方程的 为坐标的点都是曲线上的点 那么 这个方程叫做 这条曲线叫做 坐标 解 解 曲线的方程 方程的曲线 2 求动点轨迹方程的一般步骤 1 建立坐标系 用 x y 表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合p m p m 3 用坐标表示条件p m 列出方程f x y 0 并化简 4 查漏补缺 3 求动点轨迹方程的常用方法 1 直接法 也叫直译法 即根据题目条件 写出关于动点的几何关系并用坐标表示 再进行整理 化简 2 定义法 先根据已知条件判断动点的轨迹形状 然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程 3 代入法 也叫相关点法 其特点是 动点m x y 与已知曲线c上的点 x y 相关联 可先用x y表示x y 再代入曲线c的方程 即得点m的轨迹方程 4 参数法 选取适当的参数 分别用参数表示动点坐标 x y 消去参数 即得其普通方程 1 2014北京市海淀区高三模拟 方程x2 xy x的曲线是 a 一个点b 一条直线c 两条直线d 一个点和一条直线解析 由x2 xy x得x x y 1 0 即x 0或x y 1 0 为两条直线 选c 答案 c 2 到a 2 3 和b 4 1 距离相等的点的轨迹方程为 a x 2y 1 0b x 2y 1 0c 2x y 7 0d 2x y 7 0答案 a 3 若点p到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点p的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线解析 依题意 点p到直线x 2的距离等于它到点 2 0 的距离 故点p的轨迹是抛物线 故选d 答案 d 考点突破 利用直接法求轨迹方程 1 利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程 然后进行化简 2 运用直接法应注意的问题 在用直接法求轨迹方程时 在化简的过程中 有时破坏了方程的同解性 此时就要补上遗漏的点或删除多余的点 这是不能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形 则最后的验证可以省略 例2 2013年高考新课标全国卷 已知圆m x 1 2 y2 1 圆n x 1 2 y2 9 动圆p与圆m外切并且与圆n内切 圆心p的轨迹为曲线c 1 求c的方程 2 l是与圆p 圆m都相切的一条直线 l与曲线c交于a b两点 当圆p的半径最长时 求 ab 利用定义法求轨迹方程 思维导引 1 写出点p满足的几何条件 根据圆锥曲线的定义判断轨迹的类型再求方程 2 由圆p的半径最长确定圆p的方程 再由l与两圆相切确定l的方程 与曲线c联立可求得弦ab的长 1 求轨迹方程时 若动点满足圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可以直接根据定义先定轨迹类型 再写出其方程 2 利用定义法求轨迹方程时 还要看轨迹是否是完整的圆 椭圆 双曲线 抛物线 如果不是完整的曲线 则应对其中的变量x和y进行限制 即时突破2 1 已知圆p过点a 1 0 且与直线l x 1相切 则圆心p的轨迹方程为 2 若动圆p过点n 2 0 且与另一圆m x 2 2 y2 8相外切 则动圆p的圆心的轨迹方程是 解析 1 设动圆半径为r p到l的距离为d 则由题意知 pa r d r 故 pa d 又因a l 由抛物线的定义可知 点p的轨迹是以a为焦点 l为准线的抛物线 其方程为y2 4x 利用相关点法 代入法 求轨迹方程 思维导引 用重心坐标表示c点坐标 代入曲线方程整理 由点c在曲线y 3x2 1上 得3y 2 3 3x 2 2 1 整理得y 9x2 12x 3 故 abc重心的轨迹方程为y 9x2 12x 3 相关点法求轨迹方程的一般步骤为 1 设点 设动点坐标为 x y 已知轨迹的点的坐标为 x1 y1 分类讨论思想在判断方程表示曲线类型中的应用 典例 平面内与两定点a1 a 0 a2 a 0 a 0 连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹 加上a1 a2两点所成的曲线c可以是圆 椭圆或双曲线 求曲线c的方程 并讨论c的形状与m值的关系 分析 设动点m的坐标 并用坐标表示点m的条件 化简即得曲线c的方程 然后根据m的不同取值分类讨论曲线的形状 由含参数的方程讨论曲线类型时 关键是确定