高中数学 2.4.1抛物线及其标准方程课件 新人教A版选修21 .ppt

2 4抛物线2 4 1抛物线及其标准方程 1 抛物线的定义 1 定义 平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 距离 的点的轨迹 2 焦点 叫做抛物线的焦点 3 准线 叫做抛物线的准线 相等 点f 直线l 2 抛物线的标准方程 1 判一判 正确的打 错误的打 1 标准方程y2 2px p 0 中的p的几何意义是焦点到准线的距离 2 抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定 3 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线 解析 1 正确 抛物线的标准方程中p p 0 即为焦点到准线的距离 故该说法正确 2 正确 一次项决定焦点所在的坐标轴 一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上 故该说法正确 3 错误 当定点在定直线上时 不表示抛物线 故该说法错误 答案 1 2 3 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 抛物线y2 4x的焦点坐标为 准线方程为 2 若抛物线的方程为x 2ay2 a 0 则焦点到准线的距离p 3 焦点坐标为 0 2 的抛物线的标准方程为 解析 1 因为y2 4x 所以p 2 所以焦点坐标为 1 0 准线方程为x 1 答案 1 0 x 1 2 因为x 2ay2 a 0 所以由所以答案 3 因为焦点坐标为 0 2 故标准方程可设为x2 2py p 0 其中所以p 4 故标准方程为x2 8y 答案 x2 8y 要点探究 知识点抛物线的定义及标准方程1 对抛物线定义的两点说明 1 定直线l不经过定点f 2 定义中包含三个定值 分别为一个定点 一条定直线及一个确定的比值 2 抛物线标准方程的特点 1 是关于x y的二元二次方程 2 p的几何意义是焦点到准线的距离 3 四种位置的抛物线标准方程的对比 1 共同点 原点在抛物线上 焦点在坐标轴上 焦点的非零坐标都是一次项系数的 2 不同点 焦点在x轴上时 方程的右端为 2px 左端为y2 焦点在y轴上时 方程的右端为 2py 左端为x2 开口方向与x轴 或y轴 的正半轴相同 焦点在x轴 或y轴 正半轴上 方程右端取正号 开口方向与x轴 或y轴 的负半轴相同 焦点在x轴 或y轴 负半轴上 方程右端取负号 知识拓展 抛物线与二次函数的关系二次函数的解析式为y ax2 bx c a 0 当b c为0时 y ax2表示焦点在y轴上的抛物线 标准方程为x2 a 0时抛物线开口向上 a 0时 抛物线开口向下 当抛物线的开口方向向左或向右时 方程为y2 2px 表示一条曲线 不能称为函数 微思考 1 定义中若去掉条件 l不经过f 则此时点的轨迹是什么 提示 若点f在直线l上 满足条件的动点p的轨迹是过点f且垂直于l的直线 而不是抛物线 2 确定抛物线的标准方程时 一般需要确定几个量 提示 确定两个量 一个是p 另一个是一次项系数的正负 即时练 1 以为焦点的抛物线的标准方程是 2 若抛物线y2 8x上一点p到其焦点的距离为9 则点p的坐标为 解析 1 因为焦点f为所以抛物线方程可设为y2 2px p 0 由所以故标准方程为y2 3x 答案 y2 3x 2 根据抛物线的定义 点p到抛物线准线的距离为9 设p x0 y0 则即x0 2 9 所以x0 7 代入y2 8x 得所以p点坐标为答案 题型示范 类型一求抛物线的标准方程 典例1 1 已知双曲线c1 a 0 b 0 的离心率为2 若抛物线c2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线c1的渐近线的距离为2 则抛物线c2的方程为 2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 过点m 6 6 焦点f在直线l 3x 2y 6 0上 解题探究 1 题 1 中抛物线的焦点坐标是什么 2 题 2 已知抛物线上一点 如何确定开口方向 中抛物线的焦点坐标是什么 探究提示 1 抛物线的焦点坐标为2 中的点在第二象限 故抛物线的开口向上或向左 中抛物线的焦点坐标为 0 3 或 2 0 自主解答 1 选d 抛物线的焦点坐标为双曲线的渐近线方程为不妨取即bx ay 0 焦点到渐近线的距离为即所以又双曲线的离心率为2 所以所以p 8 所以抛物线方程为x2 16y 2 由于点m 6 6 在第二象限 所以过m的抛物线开口向左或开口向上 若开口向左 焦点在x轴上 设其方程为y2 2px p 0 将点m 6 6 代入可得36 2p 6 所以p 3 抛物线方程为y2 6x 若开口向上 焦点在y轴上 设其方程为x2 2py p 0 将m 6 6 代入可得36 2p 6 所以p 3 所以抛物线的方程为x2 6y 综上所述 抛物线的标准方程为y2 6x或x2 6y 直线l与x轴的交点为 2 0 若抛物线的焦点在x轴上 所以抛物线的焦点是f 2 0 所以抛物线的方程为y2 8x 直线l与y轴的交点是 0 3 若抛物线的焦点在y轴上 即抛物线的焦点是f 0 3 所以所以抛物线的标准方程为x2 12y 综上 所求抛物线的标准方程为y2 8x或x2 12y 方法技巧 求抛物线标准方程的方法 1 当焦点位置确定时 可利用待定系数法 设出抛物线的标准方程 由已知条件建立关于参数p的方程 求出p的值 进而写出抛物线的标准方程 2 当焦点位置不确定时 可设抛物线的方程为y2 mx或x2 ny 利用已知条件求出m n的值 变式训练 2013 新课标全国卷 设抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 点m在c上 mf 5 若以mf为直径的圆过点 0 2 则c的方程为 a y2 4x或y2 8xb y2 2x或y2 8xc y2 4x或y2 16xd y2 2x或y2 16x 解析 选c 由题意知 准线方程为则由抛物线的定义知 设以mf为直径的圆的圆心为所以圆方程为又因为过点 0 2 所以ym 4 又因为点m在c上 所以解得p 2或p 8 所以抛物线c的方程为y2 4x或y2 16x 补偿训练 抛物线顶点在原点 对称轴是x轴 点到焦点的距离为6 求抛物线的标准方程 解析 设焦点f a 0 即a2 10a 9 0 解得a 1或a 9 当焦点为f 1 0 时 p 2 抛物线的开口向左 其方程为y2 4x 当焦点为f 9 0 时 p 18 抛物线开口向左 其方程为y2 36x 类型二根据标准方程求焦点坐标和准线方程 典例2 1 2014 广州高二检测 已知圆x2 y2 6x 7 0与抛物线y2 2px p 0 的准线相切 则抛物线的准线方程为 2 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程 y x2 x ay2 a 0 解题探究 1 题 1 由圆与抛物线的准线相切 能得出什么结论 2 题 2 当抛物线方程中含参数时 如何求焦点和准线 探究提示 1 可得出圆心到准线的距离等于圆的半径 2 如果抛物线方程中含参数 要先把其化成标准方程 对参数应分类讨论 再求焦点和准线 自主解答 1 圆x2 y2 6x 7 0可化为 x 3 2 y2 16 所以圆心为 3 0 半径为4 因抛物线y2 2px p 0 的准线与圆相切 故得p 2或p 14 舍 所以准线方程为x 1 答案 x 1 2 抛物线的标准形式为x2 4y 所以p 2 所以焦点坐标是 0 1 准线方程是y 1 抛物线x ay2 a 0 的标准形式为所以 当a 0时 抛物线开口向右 所以焦点坐标是准线方程是当a 0时 抛物线开口向左 所以焦点坐标是准线方程是综上所述 当a 0时 抛物线x ay2的焦点坐标为准线方程为 延伸探究 题 2 中 把方程改为x2 ay a 0 结果如何 解析 方程x2 ay是抛物线的标准形式 由方程知 其焦点在y轴上 其焦点坐标为准线方程为 方法技巧 求焦点坐标和准线方程的步骤 变式训练 2014 安徽高考 抛物线y x2的准线方程是 a y 1b y 2c x 1d x 2 解题指南 将抛物线化为标准形式即可得出 解析 选a y x2 x2 4y 所以抛物线的准线方程是y 1 补偿训练 抛物线的准线方程是 解析 选c 由得x2 8y 所以准线方程为 类型三抛物线的实际应用 典例3 1 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分 灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直 灯泡位于抛物线焦点处 已知灯口的直径是24cm 灯深10cm 那么灯泡与反射镜顶点 即截得抛物线顶点 间的距离是 2 某抛物线形拱桥跨度是20米 拱桥高度是4米 在建桥时 每4米需用一根支柱支撑 求其中最长支柱的长 解题探究 1 题 1 中应如何建系求解较简单 2 题 2 中最长支柱应在什么位置 探究提示 1 以反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点建立坐标系 2 最长支柱应是离拱高4米的位置2米处的支柱 自主解答 1 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点 建立直角坐标系xoy 如图所示 因灯口直径 ab 24 灯深 op 10 所以点a的坐标是 10 12 设抛物线的方程为y2 2px p 0 由点a 10 12 在抛物线上 得122 2p 10 所以p 7 2 所以抛物线的焦点f的坐标为 3 6 0 因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3 6cm 答案 3 6cm 2 如图 建立直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 依题意知 点p 10 4 在抛物线上 所以100 2p 4 2p 25 即抛物线方程为x2 25y 因为每4米需用一根支柱支撑 所以支柱横坐标分别为 6 2 2 6 由图知 ab是最长的支柱之一 设点b的坐标为 2 yb 代入x2 25y 得所以即最长支柱的长为3 84米 方法技巧 求解抛物线实际应用题的五个步骤 变式训练 如图是一种加热水和食物的太阳灶 上面装有可旋转的抛物面形的反光镜 镜的轴截面是抛物线的一部分 盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处 容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑 已知镜口圆的直径为12米 镜深2米 若把盛水和食物的容器近似地看作点 则每根铁筋的长度为米 解题指南 先建立直角坐标系 然后设出抛物线的标准方程结合已知条件进而可得到p的值 从而可确定抛物线的方程和焦点的位置 根据盛水的容器在焦点处 结合两点间的距离公式可得到每根铁筋的长度 解析 如图 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系 使反光镜的顶点 即抛物线的顶点 与原点重合 x轴垂直于镜口直径 由已知 得a点坐标是 2 6 设抛物线方程为y2 2px p 0 则36 2p 2 p 9 所以所求抛物线的标准方程是y2 18x 焦点坐标是因为盛水和食物的容器在焦点处 所以a f两点间的距离即为每根铁筋长 故每根铁筋的长度是6 5米 答案 6 5 补偿训练 河上有一抛物线形拱桥 当水面距拱顶5m时 水面宽为8m 一小船宽4m 高2m 载货后船露出水面上的部分高问水面上涨到与抛物线拱顶相距 m时 小船不能通航 解题指南 先建立直角坐标系 设抛物线的标准方程 将点 4 5 代入求得p 得到抛物线方程 再把点 2 y1 代入 求得y1 进而求得得到答案 解析 建立直角坐标系 设抛物线方程为x2 2py p 0 将点 4 5 代入求得所以将点 2 y1 代入方程求得所以答案 2 巧思妙解 巧用抛物线的定义解题 典例 已知抛物线的顶点在原点 对称轴是x轴 抛物线上的点m 3 m 到焦点的距离等于5 求抛物线的方程和m的值 教你审题 常规解法 设抛物线方程为y2 2px p 0 则焦点由题意可得解得或故所求的抛物线方程为y2 8x 所以m的值为 巧妙解法 设抛物线的方程为y2 2px p 0 则故p 4 所以抛物线的方程为y2 8x 将点 3 m 代入抛物线方程得 方法对比 常规解法思路易得出 但需要解二元二次方程组 稍有疏忽 则会解出错误的结果 而巧妙解法则是利用抛物线的定义 得出