高中数学 2112 确定平面的条件课件 新人教A版必修2.ppt

1 确定平面的条件 我们已知不共线三点可以确定一个平面 请探究 1 一直线外一点和该直线能确定一个平面吗 2 两条平行直线能确定一个平面吗 3 两相交直线能确定一个平面吗 解析 1 可以 如图 在直线l上任取相异两点 p l p a b三点不共线 由公理2 p a b三点可确定一个平面 经过直线l和l外一点p 有且仅有一个平面 2 可以 证法一 如图 在直线b上任取一点p a b p a 由 1 知点p与直线a能确定一个平面 在 内过p可作a a 这样过点p有两条直线b a 都与a平行 这不可能 因此a 与b重合 a b a与b可确定一个平面 证法二 由平行线的定义 这两条直线在同一个平面内 在b上任取一点p 则 经过直线a与点p a b p a 由 1 知经过直线a与点p的平面只有一个 过a与b的平面只有一个 即a与b确定一个平面 3 可以 如图在直线a上任取异于p的一点a a b p a b 由 1 知a与b可确定一个平面 b p b p a p a 经过a b有且只有一个平面 即a b确定一个平面 习惯上我们把上面的结论叫做公理2的推论 即 推论1经过一条直线和直线外的一点 有且只有一个平面 即一直线及线外一点确定一个平面 推论2经过两条相交直线有且仅有一个平面 即两相交直线确定一个平面 推论3经过两条平行直线 有且仅有一个平面 即两平行直线确定一个平面 这三条推论和公理 2 一起可以作为确定平面的4个条件 2 如果空间中的几个点或几条直线都在同一个平面内 那么我们就说它们 3 两两相交的三条直线可确定几个平面 答案 1个或3个 图 1 与 2 中的三条直线a b c可确定一个平面 图 3 中的三条直线a b c可确定3个平面 共面 本节学习重点 点共线 线共点 共面问题 本节学习难点 点线共面问题的证明思路的分析 1 掌握证明点共线 线共点 点线共面问题的基本思路 1 共点问题证明三线l1 l2 l3共点 一般先证明其中两条直线 如l1 l2 交于一点a 再证a l3 l3常常为两个平面的交线 2 共线问题证明a b c三点共线 一般先证直线ab是平面 的交线 再证点c是 与 的公共点 c ab 即a b c三点共线 3 共面问题证明多个几何元素 点和直线 共面 一般先据公理2或其推论结合题设条件确定一个平面 再由公理1或公理3说明其它元素也在平面 内 证明直线共面的一般方法有两种 一是先由两条平行或相交直线确定一个平面 再依据平面的基本性质证明其它直线在此平面内 二是先分别确定两个平面 再依据平面的基本性质证明两个平面是同一个平面 即两平面重合 注意证明中常常要说明两个平面是重合的 其基本模式如 点a b c d共面于 点a b c e共面于 经过不共线三点a b c的平面有且仅有一个 与 重合 从而a b c d e共面 直线a b c共面于 直线a b d共面于 但直线a与b确定一个平面 a b或a与b相交 与 重合 a b c d共面 2 准确进行三种语言 文字 图形 符号语言 的转化 绘图中的虚实线要分清 准确使用 等数学符号表示点 线 面的位置关系 3 注意 过两点有且仅有一条直线 过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行 连接两点的线段最短 4 反证法是间接证法的一种 它在立体几何证明中常常用到 一些结论的证明在直接寻找理论根据比较困难的情况下 可以考虑反证法 在运用时一定要按步骤分层次进行 1 作出和结论相反的假设 2 从假设出发 依据已知条件以及有关定义 定理 公理 逐步推导出一个与已知或某公理 定理或与一个已获证的命题相抵触的结论 从而得到一对逻辑矛盾 3 推翻假设 肯定命题中的结论 例1 a b表示点 a b c表示直线 表示平面 下列结论中 正确结论的序号是 a b a a a b a a b a b与a不重合 b a b b b a a与b不相交 a b c b c p p a 解析 中 若点a b 则a b a与a b矛盾 故 正确 中 若b a a a b a a 与a a矛盾 故 正确 中 如图 若b与a相交 设交点为p 则p a a p 又b b b 若p与b重合 则b a b 又a b 与b a矛盾 若p与b不重合 则pb 即b 与b b矛盾 b与a不相交 中 b c p p b 又b p 同理p 又 a p a 故 正确 故填 例2 下列四个命题 两条直线确定一个平面 如果两个不重合平面有两个公共点a b 那么它们就有无数多个公共点 并且这些公共点都在直线ab上 过一条直线的平面有无数多个 两个相交平面存在不在一条直线上的三个公共点 其中正确的有 填序号 解析 两条相交或平行的直线可确定一个平面 两条既不相交又不平行的直线不能确定一个平面 故 错 两个不重合平面有两个公共点a b 它们的交线为ab 所有公共点都落在交线上 正确 过一条直线可以作无数个平面 如书脊与书页 两相交平面的公共点都在交线上 故 错 填 例3 三个平面 两两相交 交于三条直线 即 c a b 已知直线a和b不平行 求证 a b c三条直线必过同一点 分析 证三条直线共点时 应先找出其中两条直线的交点p 而第三条直线是两个平面的交线 p是这两个平面的公共点 据公理3得出p在第三条直线上 解析 b a a b a b不平行 a b必相交 设a b p p a a p 同理p 而 c p c a b c相交于一点p即a b c三条直线过同一点 例4 过直线l外一点p引两条直线pa pb和直线l分别相交于a b两点 求证 三条直线pa pb l共面 分析 由p l可知 p与l确定一个平面 只须证明pa pb都在此平面内 解析 p l p与l确定一个平面 l pa l a pb l b a l b l a b 又 p pa pb pa pb l共面于 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为ab的中点 f为aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 例5 已知空间四点a b c d不在同一平面内 求证 直线ab和cd既不相交也不平行 分析 本题直接证明不易入手 故采用反证法 证明 反证法 如果直线ab和cd相交或平行 这两条直线确定平面 则ab cd a b c d 与已知矛盾 ab和cd既不相交 也不平行 p为 abc所在平面外一点 d是ab的中点 则pd与bc一定不相交 证明 假设pd bc m 则m bc bc 平面abc m 平面abc 又 d是ab的中点 ab 平面abc d 平面abc 直线md 平面abc p 直线md p 平面abc 这与条件矛盾 pd与bc不相交 1 回答下列问题 1 为什么说平行四边形和梯形都是平面图形 2 一个角一定是平面图形吗 圆是平面图形吗 为什么 3 一个平面能把空间分成几部分 两个平面呢 三个平面呢 解析 1 两条平行直线确定一个平面 平行四边形和梯形都有一组对边平行 故它们的四个顶点都在同一个平面内 故说它们都是平面图形 2 都是平面图形 因为角的两边相交于顶点 两条相交直线确定一个平面 故角是平面图形 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合 故圆是平面图形 3 一个平面将空间分成两部分 两个平面可将空间分成三部分或四部分 三个平面可将空间分成四部分 六部分 七部分或八部分 2 怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内 解析 用两条细绳沿桌子对角两腿的下端拉直 看两绳是否相交 若相交则在同一个平面内 否则不在同一个平面内 3 已知 a b c l a a l b b l c c 求证 a b c l共面 证明 a b a b确定一个平面 l a a l b b a b 故l a b l共面于 又 a c a c确定一个平面 同理可证 l a c l共面于 a l a 过两条相交直线有且只有一个平面 与 重合 即直线a b c l共面 4 如图所示 在正方体abcd a b c d 中 点p在棱cc 上 画出直线ap和平面a b c d 的交点 解析 如图所示 连接ac a c 显然a c 是平面aa c c和平面a b c d 的交线 设点q是直线ap和平面a b c d 的交点 则q 平面a b c d 而q ap ap 平面aa c c 所以q 平面aa c c 故点q是平面a b c d 和平面aa c c的公共点 根据公理3 点q一定在这两个平面的交线a c 上 延长ap交a c 的延长线于点q 点q即直线ap和平面a b c d 的交点 点评 还可以由aa 与pc 平行 且不相等 ap与a c 必相交于一点q a c 平面a b c d q是ap与平面a b c d 的交点 5 在正方体abcd a1b1c1d1