高考数学总复习 第六章 第八节不等式的证明课件 理.ppt

第八节不等式的证明 第六章不等式 推理与证明 考纲要求 1 了解直接证明的两种方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 2 掌握综合证明法中的比较法 3 掌握如下证明不等式的方法 反证法 放缩法 了解如下证明不等式的方法 换元法 判别式法 构造法 数学归纳法 课前自修 知识梳理 一 比较法比较法又分为作差比较和作商比较 作差比较最常用 1 作差比较 a b 0 a b 作差比较的步骤 1 作差 对要比较大小的两个数 或式 作差 2 变形 对差进行因式分解或配方成几个数 或式 的完全平方和 3 判断差的符号 结合变形的结果及题设条件判断差的符号 注意 若两个正数作差比较有困难 可以通过它们的平方差来比较大小 含方根的式子大小比较时 常要将它们平方或立方 再比较 其根据是 若p q 0 则 p2 q2 若m n 则m3 n3 2 作商比较 1 b 0 a b 多用于都是正数 单项情况下 比值与1比较 二 综合法利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法 概括为 由因导果 三 分析法从待证不等式出发 分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法 概括为 执果索因 基本步骤 要证 只需证 只需证 1 分析法 证题的理论依据 寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 2 分析法 证题是一个非常好的方法 但是书写不是太方便 所以我们可以利用分析法寻找证题的途径 然后用 综合法 进行表达 四 反证法从否定结论出发 经过逻辑推理 导出矛盾 从而肯定原结论的正确 运用反证法的策略 正难则反 五 放缩法将不等式一侧适当的放大或缩小以达到证题的目的 即欲证a b 可通过适当放大或缩小 借助一个或多个中间量使得b b1 b1 b2 a 或a a1 a1 a2 b 六 换元法换元法是指结构较为复杂 量与量之间关系不很明了的命题 通过恰当引入新变量 代换原题中的部分式子 简化原有结构 使其转化为便于研究的形式 换元的目的就是减少不等式中变量 以使问题化难为易 化繁为简 常用的换元有三角换元和代数换元 如 七 构造法通过构造函数 方程 数列 向量或不等式来证明不等式 证明不等式的方法灵活多样 但比较法 综合法 分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法 要依据题设 结论的结构特点 内在联系 选择适当的证明方法 要熟悉各种证法中的推理思维 并掌握相应的步骤 技巧和语言特点 八 判别式法含有两个字母的不等式 若可化成一边为零 而另一边是关于某字母的二次式时 可考虑判别式法 九 数学归纳法可用于证明与正整数n有关的不等式 见下一节 基础自测 1 2012 黄冈市黄州一中综合测试 已知a b c r 若 则a b c的大小关系为 a c a bb b c ac a b cd c b a 解析 a b c r c b c a a b 展开整理得 c a a b c 0 c a 同理a b 故选a 答案 a 2 设a b r a b 则a b的大小关系为 a a bb a bc a bd a b c 3 2012 南京师大附中检测 已知实数x y满足1 4 2 3 则xy的取值范围是 4 2012 长沙市模拟 已知实数a b x y满足a2 b2 1 x2 y2 3 则ax by的最大值为 考点探究 考点一 用比较法证明不等式 思路点拨 不等式两端都是多项式的形式 故可用作差法证明或作商法证明 点评 用比较法证不等式 一般要经历作差 或商 变形 判断三个步骤 变形的主要手段是通分 因式分解 利用各因式的符号进行判断 或进行配方 利用非负数的性质进行判断 有时在变形过程中 还可利用基本不等式进行放缩 变式探究 1 已知a b m都是正数 并且a 考点二 用综合分析法证明不等式 例2 已知a b c r 且a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 思路点拨 在条件 a b c 1 的作用下 将不等式的 真面目 给隐含了 这给证明不等式带来困难 若用 a b c 替换 1 则还原出原不等式的 真面目 从而抓住实质 解决问题 变式探究 2 2012 苏州四校联考 设a b c均为正实数 1 若a b c 1 求a2 b2 c2的最小值 2 求证 考点三 用放缩法证明不等式 点评 恰当地运用放缩法可以使不等式很快得证 但放缩时要看准目标 做到有的放矢 注意放缩要适度 变式探究 3 当n 2时 求证 logn n 1 logn n 1 1 考点四 用反证法证明不等式 例4 已知f x x2 px q 求证 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 思路点拨 由于题目的结论是 三个函数值中 至少有一个不小于 情况较复杂 会出现多个异向不等式组成的不等式组 一一证明十分繁冗 而结论的反面构成三个同向不等式 结构简单 故采用反证法为宜 证明 假设 f 1 f 2 f 3 都小于 则 f 1 2 f 2 f 3 2 而 f 1 2 f 2 f 3 f 1 f 3 2f 2 1 p q 9 3p q 8 4p 2q 2 相互矛盾 假设不成立 故 f 1 f 2 f 3 中至少有一个不小于 点评 用反证法证明命题时 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实相违背等等 推导出的矛盾必须是明显的 变式探究 4 设a b c r a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a b c均为正数 证明 反证法 假设a b c不均为正数 又 abc 0 则a b c两负一正 不妨设a0 又 a b c 0 c a b 0 同乘以 a b 得c a b 0矛盾 假设不成立 a b c均为正数 考点五 用构造函数法证明不等式 变式探究 1 综合法就是 由因导果 从已知不等式出发 不断用必要条件替换前面的不等式 直至推出要证的结论 2 分析法就是 执果索因 从所证不等式出发 不断用充分条件替换前面的不等式 直至找到成立的不等式 3 探求不等式的证法一般用分析法 叙述证明过程用综合法较简单 两法结合在证明不等式中经常遇到 在证明不等式的过程中 分析法和综合法是不能分离的 如果使用综合法证明不等式难以入手时 常用分析法探索证题途径 之后用综合法的形式写出它的证明过程 以适应学生习惯的思维规律 有时问题证明难度较大 常使用分析综合法 实现两头往中间靠 以达到证题目的 4 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证 放缩时要看准目标 做到有的放矢 注意放缩适度 5 构造函数 利用单调性证不等式或构造方程 利用 0 证不等式 充分体现相关知识间的联系 6 数学解题的两个重要策略原则 正难则反原则 若从正面考虑问题比较难入手时 则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法 即我们常说的逆向思维 由结论向条件追溯 简单化原则 寻求解题思路与途径 常把较复杂的问题转化为较简单的问题 在证明较复杂的不等式时 可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化 得到一个较易证明的不等式 7 凡是包含 至少 唯一 或含有