高三数学一轮复习 4.3平面向量的数量积课件 .ppt

第三节平面向量的数量积 知识梳理 1 向量的夹角 aob 同向 反向 垂直 2 平面向量的数量积 a b cos a cos b cos b cos 3 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或者 a 4 cos 5 a b a b 0 a 2 a b 4 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 数乘结合律 a b 3 分配律 a b c a b a b a b a c 5 平面向量数量积的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 向量a与b的夹角为 则 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 考点自测 1 思考 给出下列结论 向量在另一个向量方向上的投影为数量 而不是向量 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 由a b 0可得a 0或b 0 a b c a b c 其中正确的是 a b c d 解析 选a 由向量投影的定义可知 正确 由数量积及线性运算的意义知 正确 由a b a b cos 知 当两个非零向量的夹角 90 时 a b 0 而不必a 0或b 0 所以 不正确 由向量数量积及向量的数乘的意义知 当a b 0时 a b c是与c方向相同或相反的向量 而当b c 0时a b c 是与a方向相同或相反的向量 所以 不正确 综上应选a 2 已知向量a b满足 a 1 b 4 且a b 2 则a与b的夹角为 解析 选c 设a与b的夹角为 则又因为 0 所以 3 已知向量a 1 2 向量b x 2 且a a b 则实数x等于 a 9b 4c 0d 4 解析 选a a b 1 x 4 由a a b 得1 x 8 0 所以x 9 4 已知单位向量a b的夹角是120 则 a b a b 1c d 解析 选b 由题意 得 a b 1 所以 5 已知 a 2 向量a与b的夹角是则a在b上的投影是 解析 a在b上的投影是 a cos答案 6 已知等边三角形abc的边长为1 设则a b b c c a 解析 如图 得a与b b与c c与a的夹角都是120 又 a b c 1 所以原式 1 1 cos120 1 1 cos120 1 1 cos120 答案 考点1平面向量数量积的运算 典例1 1 2013 新课标全国卷 已知两个单位向量a b的夹角为60 c ta 1 t b 若b c 0 则t 2 已知正方形abcd的边长为1 点e是ab边上的动点 则的值为 的最大值为 解题视点 1 根据向量数量积的运算律及数量积的运算公式列方程求解 2 结合图形建立平面直角坐标系 用向量数量积的坐标运算求解 或选取基向量 用基向量表示后再根据向量数量积的运算公式求解 规范解答 1 由c ta 1 t b得 b c ta b 1 t b2 0 整理得t a b cos60 1 t b 2 0 化简得t 1 t 0 所以t 2 答案 2 2 方法一 如图所示 以ab ad所在的直线分别为x y轴建立直角坐标系 设e t 0 0 t 1 则d 0 1 b 1 0 c 1 1 t 1 0 1 所以又因为 1 0 所以 t 1 方法二 选取 作为基底 设0 t 1 则答案 11 互动探究 本例 2 中 当e是ab的中点时 试求在上的投影 解析 方法一 如图 过点e作ef dc 垂足为f 由投影的定义知 在上的投影是 方法二 如图 向量与的夹角是 edc 所以在上的投影是 规律方法 向量数量积的两种求法 1 当已知向量的模和夹角 时 可利用定义法求解 即a b a b cos 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 运用两向量的数量积可解决长度 夹角 垂直等问题 解题时应灵活选择相应公式求解 平面向量数量积运算的常用公式 1 a b a b a2 b2 2 a b 2 a2 2a b b2 3 a b 2 a2 2a b b2 变式训练 2014 舟山模拟 在 abc中 a 90 ab 1 ac 2 设点p q满足 r 若 2 则 解析 选b 由题意可得 加固训练 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x a 6b 5c 4d 3 解析 选c 8a b 8 1 1 2 5 6 3 所以 8a b c 6 3 3 x 30 即18 3x 30 解得x 4 2 已知两个单位向量e1 e2的夹角为若向量b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 则b1 b2 解析 b1 b2 e1 2e2 3e1 4e2 3 e1 2 2e1 e2 8 e2 2 又因为e1 e2的夹角为 e1 1 e2 1 所以b1 b2 3 2cos 8 3 1 8 6 答案 6 考点2平面向量的垂直与夹角问题 典例2 1 2014 九江模拟 若 a 2 b 4且 a b a 则a与b的夹角是 2 2014 湖州模拟 已知a 3 2 b 1 0 向量 a b与a 2b垂直 则实数 的值为 3 设两个向量a b 满足 a 2 b 1 a与b的夹角为 若向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 求实数t的范围 解题视点 1 由向量的数量积公式知 只需根据 a b a求出a b即可 2 根据向量垂直列方程求解 3 把问题转化为两向量的数量积小于0且两向量不共线反向求解 规范解答 1 选a 根据题意 由于 a 2 b 4且 a b a 则有 a b a 0 a2 b a 0 4 b a 0 所以b a 4 那么可知a与b的夹角的余弦值为则a与b的夹角是 2 选a a b 3 1 2 a 2b 1 2 因为向量 a b与a 2b垂直 所以 a b a 2b 0 则3 1 4 0 解得 3 由向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 得即 2ta 7b a tb 0 化简即得2t2 15t 7 0 解得 7 t 当夹角为 时 也有 2ta 7b a tb 0 但此时夹角不是钝角 设2ta 7b a tb 0 可求得所以 所以所以所求实数t的范围是 易错警示 解答本例 3 易忽视向量2ta 7b与a tb共线反向的情况 而得错误答案 规律方法 平面向量数量积的两个应用 1 若a b为非零向量 则由平面向量的数量积公式得cos 夹角公式 所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题 2 数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角 数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角 数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 变式训练 2013 安徽高考 若非零向量a b满足 a 3 b a 2b 则a与b夹角的余弦值为 解析 由 a a 2b 设a与b的夹角为 等式两边平方得a2 4a b 4b2 a2 a b b2 所以答案 加固训练 1 2014 株洲模拟 若向量a 1 2 b 1 1 则2a b与a b的夹角等于 解析 选c 因为2a b 3 3 a b 0 3 设2a b与a b的夹角为 所以又 0 故 2 已知a与b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b与向量ka b垂直 则k 解析 因为 a b ka b 所以 a b ka b 0 即ka2 k 1 a b b2 0 又因为a b为两个不共线的单位向量 所以 式可化为k 1 1 k a b 若1 k 0 则a b 1 这与a b不共线矛盾 若1 k 0 则k 1 1 k a b恒成立 综上可知 k 1时符合题意 答案 1 3 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 和 a b 3 若作 abc 求 abc的面积 解析 1 由 2a 3b 2a b 61 得4 a 2 4a b 3 b 2 61 因为 a 4 b 3 代入上式求得a b 6 所以又 0 所以 2 可先平方转化为向量的数量积 a b 2 a b 2 a 2 2a b b 2 42 2 6 32 13 所以 a b 同理 a b 3 由 1 知 bac 所以 考点3平面向量的模及其应用 考情 有关平面向量的模的问题离不开平面向量的数量积 涉及平面向量模的问题是近几年高考的热点 常以选择题 填空题的形式出现 考查求模的最值 求模的取值范围等问题 具有一定的综合性 高频考点通关 典例3 1 2013 湖南高考 已知a b是单位向量 a b 0 若向量c满足 c a b 1 则 c 的最大值为 2 2013 浙江高考 设e1 e2为单位向量 非零向量b xe1 ye2 x y r 若e1 e2的夹角为则的最大值等于 解题视点 1 首先弄懂向量a b是一组正交基底 且 a b 由 c a b 1利用圆的知识可求得结果 或利用代数运算 转化为不等式求解 2 先求的最大值 其处理方法是变形构造函数 利用函数的最值解答 规范解答 1 方法一 选c 条件 c a b 1可以理解成如图的情况而 a b 向量c的终点在单位圆上 故 c 的最大值为 1 方法二 选c 由题意 得 a b 1 a b 0 所以 a b 因为 c a b 1 所以 c a b 2 c2 2c a b a b 2 1 设c与a b的夹角为 则 c 2 2 c cos 2 1 即 c 2 1 2 c cos 2 c c 2 2 c 1 0 解得 1 c 1 故 c 的最大值为 1 2 所以的最大值为2 答案 2 通关锦囊 通关题组 1 2013 杭州模拟 已知向量a 1 1 b 2 y 若 a b a b 则y a 3b 1c 1d 3 解析 选d 因为a 1 1 b 2 y 所以a b 3 y 1 a b 2 y 因为 a b a b 所以所以y 3 2 2014 西安模拟 已知单位向量a b满足 a kb ka b 其中k 0 则下列与向量b垂直的向量可以是 a 6a 2bb a bc a bd a b 解析 选d 因为单位向量a b满足 a kb ka b 其中k 0 所以 a kb 2 3 ka b 2 即a b 因为k 0 所以a b b 6a 2b 6a b 2b2 6a b 2 1 即b与6a 2b不垂直 所以a不正确 即b与不垂直 所以b不正确 即b与不垂直 所以c不正确 所以b与的数量积可以为零 即b与可以垂直 故选d 3 2013 重庆高考 在平面上 的取值范围是 a b c d 解析 选d 因为所以即 因为所以即因为所以因为所以所以所以即 4 2014 丽水模拟 设x y r 向量a x 1 b 1 y c 2 4 且a c b c 则 a b 解析 因为a c 所以2x 4 0 解得x 2 又b c 所以2y 4 0 所以y 2 所以a b x 1 1 y 3 1 所以 a b 答案 加固训练 1 2014 嘉兴模拟 已知平面向量a b满足 a 2 b 3 a a 2b 0 则 a b a 2b 3c 4d 6 解析 选b 因为 a 2 b 3 所以a a 2b a2 2a b 4 2a b 0 即a b 2 所以 a b 2 若a b c均为单位向量 且a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 解析 选b 由向量a b c都是单位向量 可得a2 1 b2 1 c2 1 由a b 0及 a c b c 0 可以知道 a b c c2 1 因为 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 所以有 a b c 2 3 2 a c b c 3 2 a b c 故 a b c 1 创新体验3 以平面向量的数量积为载体的创新问题 典例 2014 福州模拟 对任意两个非零向量定义若平面向量a b满足 a b 0 a与b的夹角且都在集合中 则 a b 1c d 审题视点 解析 选c 根据题中的向量的新运算及向量的数量积 可知因为 所以又因为 a b 0 所以0 1 所以0 cos 1 即 0 1 又所以 由 得 所以所以所以 创新点拨 1 高考考情 以向量为背景的新定义问题 是高考命题创新型试题的一个热点 考查频次较高 2 命题形式 常见的有新定义 新运算等 备考指导 1 准确转化 解决新定义问题时 一定要弄清新定义的含义 由此把问题转化为我们学过的定义 运算 切忌同已有的定义或运算相混淆 2 方法选取 成功转化后 可结合特例法 推理法 并注意到向量的概念及数量积的运算特点 根据题目的条件求解 要注意培养学生获取新信息 利用新知识的能力 新题快递 1 2014 西安模拟 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的a m n b p q 令a b mq np 下面说法错误的是 a 若a与b共线 则a b 0b a b b ac 对任意的 r 有 a b a b d a b 2 a b 2 a2b2 解析 选b 对于a 由a与b共线 得mq np 0 即a b 0 故a正确 对于b 由新定义知 a b mq