高中数学 （主干知识+典例精析）7.7空间向量及其运算课件 理 新人教B版.ppt

第七节空间向量及其运算 三年10考高考指数 1 了解空间向量的概念 了解空间向量的基本定理及其意义 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 1 空间向量的坐标表示是用空间向量解决空间平行 垂直 夹角问题的基础 2 以向量及其运算为工具证明平行 垂直以及求空间角是高考的热点 同时 借助对空间几何体中的平行 垂直的证明以及空间角的求解考查向量及其运算 题型多以解答题的形式出现 考查学生的运算能力及运用知识分析问题 解决问题的能力 3 用数量积解决空间中的垂直问题是高考的热点 1 空间向量的有关概念及线性运算 1 空间向量的概念 2 空间向量的加 减 数乘运算空间向量的加 减 数乘运算是平面向量运算的推广 如图 设a b是空间任意两向量 若 加法 减法 数乘 r a b a b a 3 空间向量加法 数乘运算满足的运算律 交换律 a b 结合律 a b c a r r 分配律 a b r b a a b c a a b 即时应用 判断下列命题的正误 请在括号内填 或 1 空间任意五边形abcde 则 2 已知非零向量a b 若a b 则a所在直线与b所在直线平行 3 空间任意两非零向量a b共面 4 空间向量a平行于平面 则a所在直线平行于平面 解析 由向量加法知 1 正确 当a b时 a与b所在直线平行或重合 故 2 是错误的 由于向量可平移 因此空间任意两向量都可平移到同一起点 故空间任意两向量共面 即 3 是正确的 a所在的直线可能在平面 内 故 4 是错误的 答案 1 2 3 4 2 空间向量的有关定理 对于空间任意两个向量的充要条件是存在唯一实数x 使 如果两个向量不共线 则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x y 使 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在一个唯一的有序实数组x y z 使 把叫做空间的一个基底 叫做 基向量 即时应用 1 设三棱锥o abc中 g是 abc的重心 则 2 已知a 2 1 3 b 1 4 2 c 7 5 若a b c三个向量共面 则实数 3 已知a 1 0 2 b 6 2 1 2 若a b 则 解析 1 如图 连结ag并延长交bc于点d 则d是bc的中点 连结od 则 2 由于a b c三向量共面 所以存在实数m n使得c ma nb 即解得 3 由a b得a kb 从而得解得答案 3 空间向量的数量积及运算律 称为与的夹角记作 特殊情形 aob o a b 夹角 夹角范围 数量积 运算律 1 结合律 2 交换律 3 分配律 即时应用 1 思考 对于实数a b 若ab 0 则一定有a 0或b 0 而对于向量a b 若a b 0 则一定有a 0或b 0吗 提示 不一定 因为当a 0且b 0时 若a b 也有a b 0 2 已知向量a与b的夹角为120 且 a b 4 那么b 2a b 等于 解析 b 2a b 2b a b2 2 4 4cos120 42 0 答案 0 4 空间向量的坐标运算 1 a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a b均为非零向量 空间向量坐标运算 共线 垂直 数量积 模 夹角 2 空间两点间的距离公式设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则 ab 即时应用 1 已知向量a 4 2 4 b 6 3 2 则 a b a b 的值为 2 已知空间三点a 1 1 1 b 1 0 4 c 2 2 3 则与的夹角的大小是 3 已知a 1 t 1 t t b 2 t t 则 b a 的最小值为 解析 1 a b 10 5 2 a b 2 1 6 a b a b 20 5 12 13 2 由题意知 2 1 3 1 3 2 故所以 3 由题意得 b a 1 t 2t 1 0 b a 当t 时 b a 取得最小值为答案 1 13 2 3 空间向量的线性运算 方法点睛 空间向量线性运算的方法 空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同 提醒 进行向量的加法运算时 若用三角形法则 必须使两向量首尾相接 若用平行四边形法则 必须使两向量共起点 进行向量减法时 必须使两向量共起点 例1 1 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 o为ac的中点 化简 用表示则 2 2011 中山模拟 向量a 3 5 4 b 2 1 8 计算2a 3b 3a 2b的值 解题指南 1 用已知向量表示未知向量时 在转化时要结合向量的线性运算 2 根据向量坐标运算的法则解题即可 规范解答 方法一 方法二 答案 2 2a 3b 2 3 5 4 3 2 1 8 6 10 8 6 3 24 12 13 16 3a 2b 3 3 5 4 2 2 1 8 9 15 12 4 2 16 5 13 28 互动探究 本例中 1 的条件不变 结论改为 设e是棱dd1上的点 且若试求x y z的值 解析 反思 感悟 1 空间向量的坐标运算 关键是要注意向量坐标与点的坐标间的关系 并熟练掌握运算公式 2 用不共面的向量表示某一向量时 关键是结合图形将已知向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中 然后根据三角形法则或平行四边形法则 把未知向量用已知向量表示出来 变式备选 如图所示 在平行六面体abcd a1b1c1d1中 设m n p分别是aa1 bc c1d1的中点 试用a b c表示下列各向量 1 2 3 解析 共线向量定理 共面向量定理的应用 方法点睛 1 证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题 如证明a b c三点共线 即证明共线 2 证明点共面的方法证明点共面问题可转化为证明向量共面问题 如要证明p a b c四点共面 只要能证明或对空间任一点o 有 x y z 1 即可 共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件 例2 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 用向量法证明 1 e f g h四点共面 2 bd 平面efgh 解题指南 1 证明根据共面向量定理即可得到结论 或证明fg eh 即可得到fg eh确定一平面 故得四点共面 2 证明与共线 然后根据线面平行的判定定理解题即可 规范解答 1 方法一 e f g h分别是空间四边形abcd的边的中点 e f g h四点共面 方法二 e f g h分别是空间四边形abcd的边的中点 fg eh 故e f g h四点共面 2 由题意知 bd eh 又bd平面efgh eh 平面efgh bd 平面efgh 反思 感悟 1 利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用定理 向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路 2 向量的平行与直线的平行是不同的 直线平行是不允许重合的 而向量平行 它们所在的直线可以平行也可以重合 变式训练 如图所示 已知abcd是平行四边形 p点是平面abcd外一点 连接pa pb pc pd 设点e f g h分别为 pab pbc pcd pda的重心 1 试用向量法证明e f g h四点共面 2 试判断平面efgh与平面abcd的位置关系 并用向量法证明你的判断 解析 1 分别连接pe pf pg ph并延长交对边于m n q r点 因为e f g h分别是所在三角形的重心 所以m n q r为所在边的中点 连接mn nq qr rm得到的四边形为平行四边形 且有 连接mq eg 因为四边形mnqr是平行四边形 所以又所以即由共面向量定理知e f g h四点共面 2 由 1 得所以又因为eg平面abcd 所以eg 平面abcd 因为所以mn ef 又因为ef平面abcd 所以ef 平面abcd 由于eg与ef交于e点 所以平面efgh 平面abcd 空间向量的数量积及其应用 方法点睛 1 求空间向量数量积的方法 1 定义法 设向量a b的夹角为 则a b a b cos 2 坐标法 设a x1 y1 z1 b x2 y2 z2 则a b x1x2 y1y2 z1z2 解题时可根据条件灵活选择方法 2 数量积的应用 1 求夹角 设向量a b所成的角为 a b 则进而可求两异面直线所成的角 2 求长度 距离 运用公式 a 2 a a 可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 3 解决垂直问题 利用a b a b 0 a 0 b 0 可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 提醒 用a b a b cos a b 求向量的数量积时 关键是确定向量的长度及夹角 例3 1 2012 济南模拟 若向量a 1 2 b 2 1 2 且a与b的夹角的余弦值为则 等于 a 2 b 2 c 2或 d 2或 2 如图 在平行四边形abcd中 ab ac cd 1 acd 90 把 adc沿对角线ac折起 使ab与cd成60 角 求bd的长 解题指南 1 利用两向量数量积的夹角公式求解 2 由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系 然后用表示根据求解 规范解答 1 选c 由已知得 2 ab与cd成60 角 60 或120 又 ab ac cd 1 ac cd ac ab 2或 bd的长为2或 互动探究 本例 2 中若折起后bd的长为2 求此时ad与bc所成的角的余弦值 解析 由已知与的夹角为135 在 bdc中 由余弦定理得 ad与bc所成角的余弦值为 反思 感悟 1 向量数量积为解决立体几何中的夹角 长度 垂直等问题提供了一种工具 使几何问题转化为数的计算问题 2 解题中注意最后要将计算问题再转化为几何问题 同时要特别注意向量的夹角与两异面直线所成角之间的关系 变式备选 如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f g分别是ab ad cd的中点 计算 1 2 eg的长 3 异面直线eg与ac所成角的大小 解析 设则 a b c 1 即eg的长为 3 由 2 知 故异面直线eg与ac所成的角为45 满分指导 空间向量解答题的规范解答 典例 12分 2012 长沙模拟 已知空间中三点a 2 0 2 b 1 1 2 c 3 0 4 1 若 c 3 且求向量c的坐标 2 若m a b n a b 与2a b垂直 求m n应满足的关系式 解题指南 1 求的坐标 由c 得c的坐标 根据 c 3求得 可得所求 2 根据条件得到m a b n a b 和2a b的坐标 根据垂直的充要条件可求得m n满足的条件 规范解答 1 由条件得 2分 1或 1 c 2 1 2 或c 2 1 2 6分 4分 2 由条件得a b 0 1 2 a b 2 1 2 2a b 3 2 2 m a b n a b 2n m n 2m 2n 8分 m a b n a b 与2a b垂直 m a b n a b 2a b 3 2n 2 m n 2 2m 2n 12n 2m 0 m 6n 11分即当m 6n时 可使m a b n a b 与2a b垂直 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示与备考建议 1 2012 上海模拟 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别为棱aa1和bb1的中点 则sin 的值为 解析 选b 设正方体的棱长为2 以d为原点建立如图所示空间坐标系 则 2 2012 宝鸡模拟 已知a cos 1 sin b sin 1 cos 则向量a b与a b的夹角是 a 0 b 30 c 60 d 90 解析 选d a b cos sin 2 sin cos a b cos sin 0 sin cos a b a b cos sin cos sin 2 0 sin cos sin cos cos2 sin2 sin2 cos2 0 a b a b 即向量a b与a b的夹角是90 3 2012 锦州模拟 在空间直角坐标系中 以点a 4 1 9 b 10