高中数学 第1部分 第二章 §5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4.ppt

第二章 5 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 知识点一 知识点二 知识点三 知识点四 向量的夹角 同向 反向 90 a b 问题1 一个物体在力f作用下的位移为s 则力f所做的功w f s cos 其中 为f和位移s的夹角 试想功w是力f和位移s的乘积吗 提示 不是 问题2 任意两向量也可以这样运算吗 运算结果是数量还是向量 提示 可以 运算结果是数量 向量的数量积 1 射影 若非零向量a b的夹角为 则叫作向量b在a方向上的射影 2 数量积 已知两个非零向量a与b 它们的夹角为 我们把叫作a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b b cos a b cos a b cos 3 数量积的特殊情况 当两个向量相等时 a a 当两个向量e1 e2是单位向量时 e1 e2 4 几何意义 a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上的射影的乘积 或b的长度 b 与a在b方向上的射影的乘积 a 2 cos b cos a cos 已知a和b都是非零向量 为a与b的夹角 问题1 若a b 求a b 若a b 0 求 提示 若a b 则 90 a b a b cos 0 若a b 0 则 a b cos 0 cos 0 0 180 90 问题2 a b 与 a b 相等吗 提示 不一定 由 cos 1 得 a b a b cos a b 当 cos 1时 等号成立 a e a cos a b 0 等号 问题1 试想当力扩大2倍 力对物体所做的功也扩大2倍吗 提示 是 即 2f s 2 f s 问题2 实数的乘法满足交换律 结合律 乘法对加法的分配律 向量数量积的运算是否也有类似运算律 提示 有 向量数量积的运算律 1 a b 交换律 2 a b 结合律 3 a b c 分配律 b a a b a b a c b c 1 两向量的夹角的范围是 0 但要注意 前提是共起点时才能指出夹角 若不满足 可先进行平移 2 向量的数量积为一实数 可正 可负 可为0 这不同于数乘向量 其结果仍为向量 3 向量数量积的几何意义和数乘向量的几何意义是不同的 在向量的数量积中 a b的几何意义是a的长度 a 与b在a方向上的射影 b cos 的乘积 在数乘向量中 a的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小 倍 4 向量数量积运算不满足结合律 即 a b c a b c 不一定正确 例1 已知 a 3 b 6 当 a b a b a与b的夹角是60 时 分别求a b a a b 思路点拨 由条件确定向量夹角后 代入数量积定义进行计算 精解详析 当a b时 若a与b同向 则它们的夹角 0 a b a b cos0 3 6 1 18 a a b a2 a b 9 18 27 若a与b反向 则它们的夹角 180 a b a b cos180 3 6 1 18 a a b a2 a b 9 18 9 当a b时 它们的夹角 90 a b 0 a a b a2 9 当a与b的夹角是60 时 有a b a b cos60 3 6 9 a a b a2 a b 18 一点通 数量积运算时一是要找准两向量的夹角 二是注意向量数量积的运算律的应用 1 2011 江西高考 已知两个单位向量e1 e2的夹角为 若向量b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 则b1 b2 答案 6 例2 已知向量a与b的夹角为120 且 a 4 b 2 求 1 a b 2 3a 4b 思路点拨 利用公式 a 2 a2进行计算 精解详析 a b a b cos 4 2 cos120 4 3 已知 a 2 b 5 a b 3 则 a b 答案 b 5 abcd中 f是bc的中点 dab 60 ab 3 ad 2 求线段db和af的长度 例3 12分 已知向量a b c满足a b c 0 且 a 3 b 5 c 7 1 求a与b的夹角 2 是否存在实数 使 a b与a 2b垂直 思路点拨 1 由a b c 0 可得c a b 两边平方可得 2 由 a b a 2b 0可求 答案 c 7 若 a 1 b 2 c a